BÀI TOÁN ĐẾM
DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỔ HỢP TRONG HÌNH HỌC
Bài 1. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
ĐS: Số giao điểm:
Số tam giác:
Bài 2. Cho điểm trong không giam, trong đó không có điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vec tơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
d) Nếu trong điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
Bài 3. Cho đa giác lồi có cạnh
a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
Bài 4. Cho đa giác lồi có cạnh
a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
Bài 5. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt?
b) 10 đường tròn phân biệt?
c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên?
Bài 6. Cho hai đường thẳng sog song . Trên lấy điểm phân biệt, trên lấy điểm phân biệt. Tính số tam giác có các định là 3 điểm trong điểm đã chọn trên và .
Bài 7. Cho mặt phẳng cho đa giác đểu có cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của.
a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là của?
b) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của?
Bài 8. Có điểm trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua hay ?
b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm ? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh ?
Bài 9. Cho điểm trong mặt phẳng trong đó có điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối điểm đó lại với nhau. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đường thẳng?
b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?
Bài 10. Cho điểm trong đó có điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoải ra không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu
a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm?
b) Tứ diện với các đỉnh thuộc điểm đó?
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Lời giải
a) Cứ 2 đường thẳng tạo thành 1 giao điểm, vậy có giao điểm.
b) Cứ 3 đường thẳng tạo thành 1 tam giác, vậy có tam giác.
Bài 2. Cho điểm trong không giam, trong đó không có điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vec tơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
d) Nếu trong điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
Lời giải
a) Cứ 2 điểm có q đường thẳng đi qua nên có đường thẳng cần tìm.
b) Vector có phân biệt điểm đầu điểm cuối nên với 2 điểm có 2 vector nên có vector.
c) Cứ 3 điểm lập thành một tam giác nên có tam giác.
d) Cứ 4 điểm không đồng phẳng thì tạo thành 1 tứ diện nên có tứ diện được thiết lập.
Bài 3. Cho đa giác lồi có cạnh
a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
Lời giải
a) Cứ 2 điểm tạo thành 1 đường thẳng gồm đường chéo và cạnh, suy ra số đường chéo là .
Suy ra .
b) Gieo điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo của một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: .
Bài 4. Cho đa giác lồi có cạnh
a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
Lời giải
a) Cứ 2 điểm tạo thành 1 đường thẳng gồm đường chéo và cạnh, suy ra số đường chéo là .
Nếu đa giác có số cạnh bằng số đường chéo thì .
b) Chọn 3 trong đỉnh ta thu được tam giác cần lập.
c) Cứ 4 đỉnh tạo thành 2 đường chéo ứng vơi 1 giao điểm, vậy có .
Bài 5. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt?
b) 10 đường tròn phân biệt?
c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên?
Lời giải
a) Cứ 2 đường thẳng phân biệt tạo thành 1 giao điểm. Vậy có giao điểm.
b) Cứ 2 đường tròn phân biệt tạo thành 2 giao điểm. Vậy có giao điểm.
c) Cứ 1 đường thẳng và 1 đường tròn tạo thành 2 giao điểm, suy ra giao điểm đơn. Kết hợp hai câu a và b ta có giao điểm.
Bài 6. Cho hai đường thẳng sog song . Trên lấy điểm phân biệt, trên lấy điểm phân biệt. Tính số tam giác có các định là 3 điểm trong điểm đã chọn trên và .
Lời giải
Số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong đó 37 điểm đã chọn trên và :
+ TH1: 1 điểm trên và 2 điểm trên
Số tam giác là .
+ TH2: 2 điểm trên và 1 điểm trên
Số tam giác là .
Do đó, tổng số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn là .
Bài 7. Cho mặt phẳng cho đa giác đểu có cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của.
a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là của?
b) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của?
Lời giải
a)
* Có bao nhiêu tam giác như vậy?
Đa giác có 20 cạnh có 20 đỉnh.
Một tam giác được tạo bởi 3 đỉnh Có tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của .
* Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của ?
Tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của 3 đỉnh của chúng sẽ là 3 đỉnh kề nhau thuộc
Chọn 1 đỉnh chung của 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì chỉ có 1 cách chọn Có đỉnh hay có tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của .
b)
* Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh của ?
Để có 1 cạnh là cạnh của , ta sẽ chọn 2 đỉnh kề nhau trong đỉnh đã cho Có cách chọn.
Một đỉnh còn lại sẽ có 18 đỉnh, còn lại trừ đi 2 đỉnh kề ta còn lại 16 đỉnh thỏa mãn
Có tam giác có đúng một cạnh là cạnh của .
* Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của ?
Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của chính là bằng tổng số tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của trừ đi số tam giác có 2 và 1 cạnh của : .
Bài 8. Có điểm trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua hay ?
b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm ? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh ?
Lời giải
a)
Từ 10 điểm đã cho, nối 2 điểm bất kỳ ta sẽ được 1 đường thẳng Có đường thẳng.
Đường thẳng không đi qua hay , tức là các đường thẳng sẽ chỉ được tạo từ 8 điểm
đường thẳng.
b)
* Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên?
Mỗi tam giác có 3 đỉnh, do đó số tam giác được tạo bởi các điểm trong 10 điểm đã cho là
* Bao nhiêu tam giác chứa điểm ?
Cố định điểm . Trong 9 điểm còn lại, lấy 2 điểm để được 1 đoạn thẳng Có đoạn thẳng, tức là có 36 tam giác chứa điểm .
* Bao nhiêu tam giác chứa cạnh ?
Cố định cạnh của tam giác. Khi đó, 1 đỉnh còn lại của tam giác có 8 sự lựa chọn. Do đó, có 8 tam giác chứa cạnh .
Bài 9. Cho điểm trong mặt phẳng trong đó có điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối điểm đó lại với nhau. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đường thẳng?
b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?
Lời giải
a) Từ điểm trong mặt phẳng ta sẽ lập được đường thẳng.
Có đường thẳng.
b) Từ điểm trong mặt phẳng ta sẽ lập được tam giác.
Nhưng trong điểm đã cho lại có điểm thẳng hàng nên sẽ có
không là tam giác.
Có tam giác.
Bài 10. Cho điểm trong đó có điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoải ra không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu
a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm?
b) Tứ diện với các đỉnh thuộc điểm đó?
Lời giải
a) Từ điểm đã cho sẽ tạo được đường tròn (mỗi đường đi qua 3 điểm, chưa xét đến điểm cùng nằm 1 đường tròn)
Nhưng trong điểm đã cho lại có điểm cùng nằm trên 1 đường tròn nên sẽ bị trùng đường tròn.
Có .
b) Từ điểm đã cho ta sẽ tạo được tứ diện (các đỉnh thuộc điểm, chưa xét đến điểm cùng nằm 1 đường tròn)
Nhưng trong điểm đã cho lại có điểm cùng nằm trên 1 đường tròn nên sẽ có không là tứ diện.
Có tứ diện với các đỉnh thuộc điểm đã cho.
DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM NGƯỜI VÀ ĐỒ VẬT
Bài 1. Một học sinh có cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có cuốn sách Toán, cuốn sách Văn và cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau
Lời giải
Hoán vị 2 cuốn sách Toán với nhau có cách.
Hoán vị 4 cuốn sách Văn với nhau có cách.
Hoán vị 6 cuốn sách Anh với nhau có cách.
Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn có cách.
Vậy số cách xếp tất cả các cuốn sách đó là .
Bài 2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
b) Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Lời giải
a) Xếp chỗ ngồi cho nhóm học sinh có cách xếp
Trong nhóm học sinh trường A, có cách xếp học sinh vào chỗ ngồi.
Trong nhóm học sinh trường B, có cách xếp học sinh vào chỗ ngồi.
Vậy có cách xếp.
b) Học sinh thứ nhất của trường A có cách chọn ghế
Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ nhất trường A có cách.
Chọn học sinh thứ hai trường A có cách chọn ghế.
Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ hai trường A có cách.
Chọn học sinh thứ ba trường A có cách chọn ghế.
Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ ba trường A có cách.
Chọn học sinh thứ tư trường A có cách chọn ghế.
Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ tư trường A có cách.
Chọn học sinh thứ năm trường A có cách chọn ghế.
Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ năm trường A có cách.
Chọn học sinh thứ sáu trường A có cách chọn ghế.
Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ sáu trường A có cách.
Vậy có cách xếp.
Bài 3. Xếp viên bi đỏ có bán kính khác nhau và viên bi xanh giống nhau vào một dãy ô trống. Hỏi
a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho viên bi đỏ xếp cạnh nhau và viên bi xanh xếp cạnh nhau?
Lời giải
a) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác nhau vào ô trống có cách.
Xếp viên bi xanh giống nhau vào ô còn lại có cách.
Vậy có cách xếp.
b) Xem 3 viên bi đỏ là 1 bộ, 2 viên bi xanh là 1 bộ, còn ô trống còn lại là 1 bộ có cách xếp các bộ.
Mà 2 viên bi đỏ có bán kính khác nhau nên hoán vị 3 viên bi đỏ là .
Vậy có cách xếp.
Bài 4. Một nhóm gồm học sinh, trong đó có nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trên thành một hàng dài sao cho học sinh nam phải đứng liền nhau?
Lời giải
Xem 7 nam là 1 bộ, hoán vị 3 mữ và 1 bộ học sinh nam có cách.
Hoán vị 7 nam trong bộ đó có cách.
Vậy có cách xép.
Bài 5. Có học sinh nam và học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ. (Khi đổi chỗ học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
Lời giải
Đánh số từ đến.
Để có đúng học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ đứng cách nhau một tức là học sinh nữ đứng ở các vị trí .
Có cặp ba vị trí của học sinh nữ suy ra cách sắp xếp bạn nữ vào mỗi cặp vị trí của các bạn nữ là
Cách sắp xếp sáu bạn nam vào sáu vị trí còn lại là .
Vậy số cách xếp thỏa mãn là .
Bài 6. Một thầy giáo có cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có cuốn sách Văn, cuốn sách Nhạc và cuốn sách Họa. Ông muốn lấy ra cuốn và tăng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
a) Số cách tặng là số cách chọn cuốn sách từ cuốn có kể thứ tự, suy ra số cách tặng là cách.
b) Tổng bộ sách bất kỳ đều vượt quá cuốn, nên không thể chọn sao cho cùng hết loại sách.
Số cách chọn cuốn sách từ cuốn là
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc
Số cách chọn sao cho không còn sách Họa
Vậy số cách chọn cần tìm là .
Bài 7. Một lớp có nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn bạn làm ban cán sự lớp sao cho:
a) Mọi người đều vui vẻ tham gia.
b) Bạn A và B không thể làm việc chung với nhau.
c) Bạn C và D từ chối tham gia.
Lời giải
a) Chọn bạn làm ban cán sự lớp khi mọi người vui vẻ tham gia sẽ có .
b) Khi có bạn A, B không thể làm việc chung với nhau thì ta sẽ có
c) Khi C, D từ chối thì sẽ còn người, do đó số cách chọn là .
Bài 8. Có nam và nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người đối diện khác phái?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp mà nam và nữ ngồi xen kẽ và đối diện?
Lời giải
a) Có cách chia 5 nam, 5 nữ thành 5 cặp nam – nữ.
Có cách chọn 5 cặp ghế đối diện cho 5 cặp nam – nữ.
Có 2 cách xếp mỗi cặp nam nữ vào cặp ghế đã chọn
Có cách.
b) Để nam nữ ngồi xen kẽ thì nam ngồi vào 6 vị trí chẵn và nữ ngồi vào 6 vị trí lẻ mà 2 người đối diện và xen kẽ có thể đổi chỗ cho nhau nên có .
Bài 9. Cần xếp nam và nữ vào một hàng ghế có chỗ ngồi sao cho nam ngồi kề nhau và nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách.
Lời giải
Ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cùng nhau là 2 nhóm a và b.
Số cách sắp xếp trong nhóm a là và trong nhóm b là cách.
Trong 7 chỗ ngồi gồm 3 nam và 2 nữ nên số ghế trống là 2, nếu ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cạnh nhau là các nhóm riêng biệt thì số chỗ ngồi mặc định là 4, từ đó số cách sắp xếp 2 nhóm a và b vào 4 chỗ ngồi là cách.
Vậy số cách là .
Bài 10. Người ta xếp ngẫu nhiên lá phiếu từ đến cạnh nhau.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau.
b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẽ riêng biệt.
Lời giải
a) Coi như 2 phiếu chẵn cạnh nhau là 1 phiếu: có thể là 24 hoặc 42 có 2 cách chọn.
Khi coiu 2 phiếu chẵn cạnh nhau là 1 phiếu thì từ 5 phiếu cần sắp xếp thì giờ ta có 4 phiếu để sắp xếp nên số cách sắp 4 phiếu này là .
Vậy nên số cách sắp xếp là .
b) Coi 2 phiếu chẵn cạnh nhau (số 2, 4) là 1 phiếu a và 3 phiếu lẻ cạnh nhau (1,3,5) là 1 phiếu b.
Số cách tạo ra phiếu a là .
Số cách tạo ra phiếu b là .
Khi ta coi như vậy thì từ việc sắp xếp 5 phiếu thì giờ ta phải sắp xếp 2 phiếu a và b nên số cách sắp xếp là .
Vậy số cách sắp xếp là cách.
Bài 11. Một lớp có học sinh nam và học sinh nữ. Cần chọn ra học sinh để đi làm công tác: Mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong học sinh đó phải có ít nhất :
a) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
b) Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Lời giải
a) Các trường hợp có thể xảy ra là nữ nam và nữ nam nên số cách chọn là: .
b) Các trường hợp có thể xảy ra là: 1 nữ 4 nam, 2 nữ 3 nam, 3 nữ 2 nam, 4 nữ 1 nam nên số cách chọn là: .
Bài 12. Trong một môn học, thầy giáo có câu hỏi khác nhau gồm câu hỏi khó, câu hỏi trung bình, câu hỏi dễ. Từ câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đú loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn.
Lời giải
Ta có trong bộ đề có 5 năm và phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ, trung bình) nên mỗi đề với 1 loại câu hỏi thì số câu tối đa là 3 mà số câu dễ không ít hơn 2 nên số câu dễ hoặc 2 hoặc 3.
Trường hợp 1:
Nếu số câu dễ bằng 3 thì số câu khó và trung bình phải lần lượt bằng 1 nên số cách ra đề là: .
Trường hợp 2:
Nếu số câu dễ bằng 2 thì có 2 khả năng xảy ra. Hoặc số câu trung bình =2 và số câu khó =1 hoặc số câu trung bình bằng 1 và số câu khó bằng 2 nên số cách ra đề là
Như vậy thì tổng số cách ra đề là
Bài 13. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C. Cần chọn học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinh này thuộc không quá trong lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Lời giải
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là .
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là
Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là
Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là
Theo quy tắc cộng có cách chọn mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh
Vậy số cách chọn là cách chọn.
Bài 14. Từ một nhóm học sinh khối A, học sinh khối B, học sinh khối C, chọn ra học sinh sao cho có ít nhất học sinh khối A và đúng học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Lời giải
Chọn 15 học sinh có đúng 2 học sinh khối C có
Ta xét các khả năng chọn được ít hơn 5 học sinh khối A sau:
Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có
Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có
Vậy có tổng công .
Bài 15. Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng. Người ta chọn ra viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả màu?
Lời giải
Số cách chọn ra 4 viên bi trong 15 viên bi là
Số cách chọn ra 4 viên bi trong 15 viên bi có đủ 3 màu là:
TH1: 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có: cách.
TH2: 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có: cách.
TH3: 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi vàng có: cách.
Vậy có cách.
Bài 16. Có hai chuồng gà, chuồng nhốt gà trống và gà mái, chuồng nhốt gà trống và gà mái. Hỏi có bao nhiêu cách bắt một lần con gà từ một trong hai chuồng đã cho, trong đó có hai gà trống và một gà mái?
Lời giải
TH1: Chuồng được chọn là chuồng 1
Số cách 3 con gà ở chuồng 1 trong đó có hai gà trống và một gà mái là .
TH1: Chuồng được chọn là chuồng 2
Số cách 3 con gà ở chuồng 2 trong đó có hai gà trống và một gà mái là .
Theo quy tắc cộng có cách.
Bài 17. Một nhóm công nhân gồm nam và nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam và có ít nhất nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Lời giải
Số cách chọn 5 người để lập tổ công tác trong đó có 1 tổ trường nam, 1 tổ phó nam và không có nữ là .
Số cách chọn ra 5 người để lập đội công tác trong đó có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam là: .
Vậy khi đó số cách thỏa mãn là: cách.

onthicaptoc.com Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về qui tắc đếm môn toán lớp 11