Câu 1. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm , . Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách : Do , khi đó:
khi .
Cách : (Thử ngược đáp số)
+ Với .
+ Với .
+ Với .
+ Với .
khi .
Cách : (Ý tưởng như cách giải Bài toán ở phần tìm điểm thuộc mặt – các bạn xem lại bài giảng)
Gọi là điểm thỏa mãn
Ta có .
Khi đó là hình chiếu vuông góc của trên .
Do . Ta có , khi đó: .
CHÚ Ý:
 Ở lớp câu hỏi: “Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho có giá trị nhỏ nhất” thì Cách thể hiện tính ưu việt hơn cả. Còn Cách sẽ phù hợp với câu hỏi “Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho có giá trị nhỏ nhất”.
 Các bạn có thể dùng công thức tìm nhanh để tìm tọa độ điểm ở Cách như sau:
.
Câu 2. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và ba điểm ,,. Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tổng bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Do , khi đó:

Khi .
Câu 3. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm ,. Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là . Khi đó, bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Do , khi đó:
.
Câu 4. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và ,, . Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách :
Do
Khi đó:
.
Suy ra khi .
Cách : Thử ngược đáp số ( sẽ khá dài).
Câu 5. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm ,. Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tổng bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Do .
Khi đó
khi .
Câu 6. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và ,,. Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Do , khi đó:
Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi hay .
Câu 7. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và ,,. Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Do
Suy ra
.
Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Câu 8. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm ,. Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là . Khi đó, bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Do
Suy ra
.
Câu 9. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và ba điểm ,,. Tìm tọa độ điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Xét điểm thỏa mãn
Ta có
( do )
Do không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của trên . Ta có là vecto chỉ phương của .
Suy ra phương trình
Do .
CHÚ Ý:
 Các bạn có thể dùng công thức tìm nhanh điểm nhờ vào công thức sau:
 Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất – nếu )”. Thì điểm chính là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng đã cho với .
Câu 10. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm ,. Biết điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị lớn nhất. Khi đó điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét điểm thỏa mãn:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có .
Do .
Câu 11. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và ba điểm ,,. Biết điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Xét điểm thỏa mãn:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có .
Do .
Câu 12. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và ba điểm ,,. Biết điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là . Khi đó, gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Xét điểm thỏa mãn:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có .
Do .
Với .
Câu 13. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và ba điểm ,,. Biết điểm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Xét điểm thỏa mãn:
Ta có
là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có .
Do .
CHÚ Ý:
Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất”. Thì điểm là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng đã cho với .
Câu 14. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm ,. Trong tất cả những điểm thuộc mặt phẳng , điểm đạt giá trị nhỏ nhất có tung độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Xét điểm thỏa mãn:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có .
Do .
Câu 15. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm ,. Biết điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất là . Khi đó, có giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Xét điểm thỏa mãn:
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có .
Do .
Với .
CHÚ Ý: Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm giá trị nhỏ nhất của với là một điểm thuộc mặt phẳng cho trước”. Thì ta luôn kết quả với . Do đó ở bài toán trên ta có thể suy ra do .
Câu 16. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm ,. Đường thẳng đi qua điểm , nằm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ điểm tới là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó:
Suy ra khi hay .
Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:
“Viết phương trình đường thẳng nằm trong , cắt
Và vuông góc với tại ”.
Ta có , suy ra .
Câu 17. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm ,. Đường thẳng đi qua điểm , nằm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ điểm tới là nhỏ nhất. Khi đó phương trình đường thẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và .
Khi đó: .
Suy ra khi hay.
Do .
Suy ra
. Khi đó , suy ra .
Câu 18. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm ,. Đường thẳng đi qua điểm , vuông góc với sao cho khoảng cách từ điểm tới là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Gọi là hình chiếu của trên , khi đó:
.
Suy ra khi hay .
Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:
“Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc
với đồng thời và ”.
Ta có , suy ra .
Câu 19. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm ,. Đường thẳng đi qua điểm , song song với sao cho khoảng cách từ điểm tới là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên ,khi đó:
.
Suy ra khi hay .
Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:
“Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với và song song với ”.
Ta có , suy ra .
Câu 20. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm ,. Biết sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hoành độ của điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Xét . Với ,
. Suy ra , nằm khác phía so với mặt phẳng .
Khi đó . Dấu “” xảy ra khi .
.
CHÚ Ý: Cho hai điểm , và mặt phẳng .
Xét tích .
 Nếu nằm cùng phía so với mặt phẳng .
 Nếu nằm khác phía so với mặt phẳng .
Câu 21. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm ,. Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Xét . Với ,
. Suy ra , nằm cùng phía so với mặt phẳng .
Gọi là điểm đối xứng với qua . Gọi
Khi đó
Suy ra phương trình .
Do
Suy ra ( Do là trung điểm của ).
Ta có .
Câu 22. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm ,. Biết thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị biểu thức bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Xét . Với ,
. Suy ra , nằm cùng phía so với mặt phẳng .
Gọi là điểm đối xứng với qua . Gọi
Khi đó
Suy ra phương trình .
Do ( Do là trung điểm của ).
Ta có .
Dấu “” xảy ra khi .
Ta có phương trình
Do
.
Câu 23. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Xét . Với ,
.
Do , nằm cùng phía so với mặt phẳng nên . Dấu “” xảy ra khi .
Phương trình .
.
Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
Câu 24. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và đường thẳng . Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất bằng .Khi đó, giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Do
.
Câu 25. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và đường thẳng . Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất.Khi đó, giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Do . Ta có .
Suy ra khi
.
Câu 26. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , biết là đường vuông góc chung của hai đường thẳng và . Phương trình đường thẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi .
Do
.
Câu 27. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng , biết cắt ba đường thẳng ,, lần lượt các điểm ,, sao cho .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét ba điểm ,,lần lượt nằm trên ba đường thẳng ,,, khi đó:
,,
Do ,,thẳng hàng và , suy ra là trung điểm của
. Suy ra phương trình .
Câu 28. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng cắt và đồng thời đi qua điểm .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Gọi cắt và lần lượt tại điểm ,.
Khi đó
,
Do đường thẳng đi qua
Từ ,.
Câu 29. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng . Đường thẳng song song với mặt phẳng , cắt hai đường thẳng và lần lượt tại hai điểm , sao cho và có hoành độ nguyên. Phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Với , , suy ra phương trình
Gọi .
Do
( với )
Khi đó
Với ,
Đường thẳng đi qua có nên có phương trình .
Chú ý: Các bạn xem thêm các dạng toán cực trị về đường thẳng ở bài giảng cuối cùng.
Câu 30. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Biết mặt phẳng đi qua và cắt các tia ,, lần lượt tại ,,sao cho thể tích khối tứ diện nhỏ nhất (với là gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
cắt tia ,, tại ,, có dạng
.
Do nên
Thể tích:
Mặt phẳng cần lập là: .
Câu 31. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , . Mặt phẳng đi qua cắt các tia , tại ,phân biệt sao cho có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Gọi , (- do cắt tia). Ta có
Khi đó mặt phẳng đi qua điểm ,, nên có phương trình:
Do
Mặt khác, thay vào ta được
. Suy ra phương trình mặt phẳng .
Câu 32. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , và . Biết khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng khoảng cách từ tới đường thẳng . Phương trình mặt phẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi , chọn điểm ; .
Ta có và
Theo giả thiết
Phương trình mặt phẳng là .
Câu 33. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm ,. Viết phương trình mặt phẳng chứa ,và cắt các tia , lần lượt tại , sao cho thể tích khối tứ diện bằng (với là gốc tọa độ).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi ,. Do là tứ diện và cắt tia ,
.
Vì nên . Điểm
Thể tích
Từ và ta có hệ .
Vậy mặt phẳng cần lập là : .
Câu 34. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm ,. Viết phương trình mặt phẳng đi qua , và cắt trục , theo thứ tự tại và (khác ) sao cho .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Giả sử cắt ,, lần lượt tại ,, có dạng
.
Vì đi qua , nên ta có :
Mặt khác
Với .
Với ( loại).
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là .
Câu 35. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm ,. Viết phương trình mặt phẳng đi qua và cắt ba trục tọa độ tại ,, khác gốc tọa độ sao cho tam giác có trực tâm .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Giả sử cắt ,, lần lượt tại ,, với .
Vì . Ta có
là trực tâm tam giác
Thế vào ta được
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là hay .
Cách 2 : Chứng minh được
.
Câu 36. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho là phương trình của mặt cầu . Biết với mọi số thực thì luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực , khi đó ta có:
đúng với .
đúng với .

Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu có tâm , bán kính .
Do đó bán kính đường tròn .
Câu 37. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba mặt phẳng , ,. Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng ,, lần lượt tại ,,. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức là?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Vì ta có , nên theo định lí Thales trong không gian, ta có:
.
Do đó, ta có : .
Chú ý: Ở câu hỏi này ta đã sử dụng công thức sau:
Nếu và thì .
Câu 38. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu . Từ một điểm thuộc mặt phẳng kẻ một đường thẳng tiếp xúc với tại . Biết . Tính độ dài đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Ta có và
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó ta luôn có:
.
Từ và , suy ra :
Vậy là hình chiếu vuông góc của trên . Áp dụng công thức giải nhanh, ta tính:
Câu 39. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt cầu . Đường thẳng thay đổi, đi qua điểm , cắt mặt cầu tại hai điểm , phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .
Đặt .
Khi đó : .
Xét hàm với .
Ta có
đồng biến trên .
Dấu “” xảy ra khi hay . Khi đó .
Chú ý : Ở câu hỏi này rất nhiều bạn sẽ chọn đáp án C vì lí luận như sau:
“Ta có ”
hoặc “”.
Nhưng do luôn đi qua điểm cố định nên dấu “” ở các đánh giá trên đều không thể xảy ra. Vì vậy với những bài toán có yếu tố cực trị ta luôn dựa vào yếu tố bất biến để tư duy và bài toán này và là hai yếu tố “bất biến” ( không đổi) nên ta sẽ dựa vào nó để tìm giá trị lớn nhất.
Câu 40. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu . Giả sử điểm và sao cho vectơ cùng phương với vectơ và khoảng cách giữa và lớn nhất. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Do cùng phương với vectơ nên :
.
Gọi
.
Ta có
.
Hay .
Từ và , suy ra .
Cách 2 : Mặt cầu có tâm và bán kính .
Gọi là góc tạo bởi và mặt phẳng . Ta có và .
.
Gọi là hình chiếu của xuống
Tam giác vuông cân tại .
Ta có .
Suy ra .

onthicaptoc.com Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về mặt phẳng Oxyz trong không gian