Ví dụ 43. Giải phương trình
- Phân tích hướng giải. Quan sát bài toán ta thấy có hai căn thức nên ta cần thoát căn. Tuy nhiên có một đại lượng căn thức chứa bậc mũ quá cao nên việc nâng lũy thừa là không khả thi. Bây giờ ta tính đến việc thoát căn bằng cơ sở đặt ẩn phụ, muốn đạt được điều này thì trong phương trình phải chứa các đại lượng có thể biểu diễn ẩn phụ được.
Ta chú ý rằng: Lúc đó phương trình đã cho sẽ trở thành:

Rõ ràng từ cho phép ta nghĩ đến đặt Kết hợp điều này với phương trình ta được hệ phương trình:
Hệ là hệ đối xứng loại 1.
Từ đó ta có cách giải cho hướng đi này như sau:
- Cách 1: Điều kiện:
Phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình:

Đặt: . Ta có: Lúc đó kết hợp với phương trình vừa biến đổi ta có hệ phương trình:

Đặt: Khi đó hệ trở thành hệ phương trình:


Đối chiếu với điều kiện ta có hai trường hợp:
+ Với: là nghiệm của phương trình:

Trong trường hợp này ta có là nghiệm của phương trình.
+ Với: là nghiệm của phương trình:

Trong trường hợp này ta có là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
Lại nhận xét rằng từ phương trình ta thấy sự xuất hiện làm cho liên tưởng đến một hằng đẳng thức lượng gác rất quen thuộc nên ta sẽ sử dụng lượng giác hóa đại số phương trình này.
+ Cách 2: Điều kiện:
Phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình:
Đặt: Lúc đó phương trình trở thành:


Đặt:
Lúc đó phương trình trở thành:

Với:
Với:
Để giải ta trả về lại ẩn ban đầu nên ta có:


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
- Bình luận. Qua hai cách giải của bài toán này, các bạn hãy chú ý rằng tất cả những phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp lượng giác hóa mà có nghiệm tường minh tức là các nghiệm “đẹp” mà không phải là nghiệm dưới dạng lượng giác thì chúng ta đều có thể giải các bài toán đó bằng các phương pháp cơ bản như nâng lũy thừa, đặt ẩn phụ.. mà đôi khi lời giải cho nó còn gọn và đẹp hơn rất nhiều so với giải bằng phương pháp lượng giác hóa. Tuy nhiên phương pháp lượng giác hóa lại tỏ ra rất ưu việt với các phương trình vô tỷ có nghiệm với dạng lượng giác (cái này thì thường là các bài toán học sinh giỏi chứ thi đại học chắc chắn là không có).
Ví dụ 44. Giải phương trình
- Phân tích hướng giải. Quan sát phương trình đang xét, sử dụng máy tính biết được phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và ta thấy biểu thức có chứa hai căn thức theo ý muốn thoát căn thì ta sẽ nâng lũy thừa (sẽ chứa toàn căn bậc 2) kết hợp với đặt ẩn phụ hoặc nâng lũy thừa kết hợp liên hợp hoặc sử dụng phương pháp liên hợp trực tiếp hoặc tính đơn điệu của hàm số hoặc sử dụng các đánh giá bằng các bất đẳng thức cơ bản để giải quyết bài toán. Điều kiện:
- Hướng 1: Sử dụng phương pháp liên hợp để giải quyết bài toán.
+ Cách 1: Do nên ta có: nên ta sẽ biến đổi phương trình đã cho trở thành:



Với phương trình:
Trước khi đánh giá xem phương trình như thế nào, việc đầu tiên ta cần kiểm chứng lại xem có thỏa hay không? Và không khó ta biết thỏa phương trình. Điều đó nghĩa rằng phương trình này lại có một nghiệm và nghiệm này là nghiệm duy nhất của phương trình ta đang xét. Điều này cũng có nghĩa là cần xử lí phương trình đang xét hoặc đánh giá đơn điệu hoặc giải phương trình…
Cụ thể ta có: Với ta có vô nghiệm vì
Với ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Ta cần chứng minh:
Ta có:
(luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy Do đó phương trình có nghiệm duy nhất
Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
+ Cách 2: Chúng ta để ý rằng sự có nghiệm trở lại ở phương trình sau khi bắt nhân tử đã mở đường cho chúng ta suy nghĩ rằng phương trình này là phương trình có nhân tử phải là .
Mặt khác khi ta có: tức là cần khử liên hợp biểu thức Vậy ta hãy xem với phép biến đổi sau:
Và lúc này ta tạo được một hằng đẳng thức:

Lúc này nhìn lại phương trình đã cho và để sự tiện lợi có được trong liên hợp đó là biểu thức liên hợp cần phải khác 0 nên ta sẽ có sự biến đổi sau đây cho phương trình ban đầu:




(vì biểu thức trong ngoặc luôn dương).
Các bạn sẽ đặt dấu hỏi rằng liệu vế phải có tạo được nhân tử như mong muốn. Điều đó các bạn yên tâm tất cả những phép biến đổi này đều là chúng ta duy trì sự xuất hiện của nhân tử .
- Hướng 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Trước tiên để tiện lợi trong quá trình tính đạo hàm của hàm số ta sẽ giảm thiểu bớt căn thức trong bài toán bằng cách đặt ẩn phụ bớt một căn thức. Và lẻ tự nhiên ta sẽ chọn căn bậc hai vì chỉ chứa x.
Cụ thể ta đặt Từ đó ta có: Khi đó phương trình trở thành:

Tiếp tục để tiện lợi cho tính toán khỏi sai lầm ta sẽ tính trước ba đạo hàm với
Ta có:
Bây giờ ta xét hàm số:
Ta có:

Do đó hàm số liên tục và đồng biến vớiLại có .
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
- Hướng đánh giá 1: Ta có nhận xét rằng
Thật vậy bình phương hai vế ta có:
(luôn đúng).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Mặt khác: Thật vậy, ta đặt
Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Lời giải của hướng đi này, ta dẫn đến cho ta cách liên hợp 1.
- Hướng đánh giá 2: Ta sẽ chứng minh:
Ta có:
Bây giờ ta sẽ chứng minh: Thật vậy, bình phương hai vế ta có:
(luôn đúng).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Do đó phương trình đã cho ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Từ lời giải này ta có thể thấy được dáng dấp của cách liên hợp thứ 2.
- Bình luận. Đây là một bài toán hay và khó, lời giải có thể đi từ nhiều hướng khác nhau, mỗi hướng có nét thú vị riêng và đòi hỏi sự tinh ý trong lúc theo đuổi ý tưởng giải cho hướng đó. Ở hướng đi 1 ta rất dễ mắc sai lầm là đi chứng minh phương trình vô nghiệm nhưng thực tế thì nó lại có nghiệm, điều đó cảnh giác cho chúng ta thấy được rằng phương pháp liên hợp tuy rất hệu quả cho các bài toán khó nhưng có một nhược điểm đó là dễ gây ảo giác về nghiệm của phương trình còn lại sau khi bắt nhân tử chung. Ở cách liên hợp thứ 2 mặc dù ta đã vét cạn được nghệm của phương trình nhưng để đạt được điều đó ta cần nhiều tính toán nhất định. Ở hướng sử dụng hàm số có vẻ như đỡ vất vả nhưng lại cũng có đòi hỏi khéo và tinh ý. Ở 2 cách đánh giá gọn chính là tiền đề chính của bài toán, nó giúp không gian của bài toán thêm phần khoáng đản và thoải mái nên hầu như khi gặp phương trình này thì ưu tiên cách giải là 2 cách đánh giá này. Để đạt được sự “dễ chịu” đó thì người giải cần có thật nhiều kỉ năng cũng như tư duy nhạy bén mới thành công.
Ví dụ 45. Giải phương trình
- Phân tích hướng giải. Bài toán đang xét chứa rất nhiều căn thức nên theo quy tắc thoát căn của phương trình vô tỷ ta có thể nghĩ đến việc nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ. Tuy vậy, cả hai suy nghĩ này đặt trong trường hợp của bài toán đang xét thật không khả thi. Do đó ta cần tìm cách làm giảm bớt lượng căn thức trong phương trình bằng cách nhận xét rằng ta có và có nên ta nghĩ đến việc sử dụng đánh giá làm giảm căn thức bằng bất đẳng thức B.C.S.
Ta có:
Suy ra:
Từ đó ta có:
Lúc đó từ phương trình đã cho ta có:

Với bất phương trình cuối ta có thể giải bằng đặt ẩn phụ hoặc nâng lũy thừa. Tuy nhiên nếu ta tinh ý ta sẽ có biến đổi sau:

Tới đây bài toán đã được giải quyết. Bây giờ ta đi vào lời giải cụ thể cho bài toán như sau:
+ Điều kiện:
Theo bất đẳng thức B.C.S ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Suy ra: . Lại có: nên
Lúc đó từ phương trình ta có:

(luôn đúng).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Đối chiếu điều kiện ta có Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
- Bình luận. Đây là một bài toán khá hay, tuy hình thức và dấu hiệu có nghiệm duy nhất dựa vào máy tính ta có thể nghĩ đến phương pháp liên hợp. Tuy nhiên nếu ta có cái nhìn tinh ý ta sẽ thu được một lời giải gọn gàng và đẹp.
Ví dụ 46. Giải phương trình
- Phân tích hướng giải. Quan sát bài toán ta thấy bài toán chứa hai căn thức nên ta có quyền nghĩ đến ẩn phụ và biểu diễn ẩn x theo hai hoặc một ẩn phụ để có được hệ phương trình hoặc phương trình.
Cụ thể ta đặt:
- Hướng 1: Thiết lập hệ phương trình từ hai ẩn phụ.
Để ý rằng:
Lại có: Từ đó ta có phép biến đổi:
Từ đó ta có hệ phương trình: Hệ này giải quyết rất gọn bằng phương pháp thế.
Cụ thể ta có lời giải chi tiết như sau:
+ Điều kiện:
Đặt:
,
Khi đó kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình:
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình:


Với (thỏa điều kiện)
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất
Nếu ta không tinh ý để khéo léo kéo được phương trình , ta có thể chọn cách làm sau:

onthicaptoc.com Bài 23. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung