Câu 46. [HH11.C3.5.D04.c] (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật cạnh , và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Trong tam giác kẻ đường cao ta có
Dễ thấy chính là đường vuông góc chung của và
Vậy .
Câu 50. [HH11.C3.5.D04.c] (TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và Gọi là trung điểm của cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có được .
Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O).
Lại có: .
Kẻ tại H thì .
Vì nên .
Câu 16. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi là trung điểm của , hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của , góc giữa và mặt đáy bằng (tham khảo hình vẽ bên). Gọi là trọng tâm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có góc giữa và là góc .
đều cạnh ; .
.
vuông tại có vuông cân tại .
Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có ; ; ; ; ; và .
Ta có .
; ; .
Vậy ; .
Vậy .
Câu 34. [HH11.C3.5.D04.c] (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông với đường chéo , vuông góc với mặt phẳng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Mặt khác .
Từ đó suy ra khoảng cách giữa và bằng khoảng cách giữa và và bằng .
Từ giác ABCD là hình vuông với đường chéo suy ra .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
Câu 24: [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có , cạnh tạo với đáy một góc . Gọi là trung điểm của là điểm nằm trên cạnh sao cho . Khoảng cách giữa là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D


Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho
là hình bình hành ////
Ta lại có

Câu 16. [HH11.C3.5.D04.c] Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 4. Hình chiếu vuông góc của trên trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp . Gọi là trung điểm cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác đều là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Ta có
Dựng hình chiếu của trên mặt phẳng Tứ giác là hình bình hành và và .
Xét tam giác vuông tại ,ta có: .
Do đó hay .
Mà . Do đó: tại hay tại (1)
Ta lại có tại (2).
Từ (1), (2) là đoạn vuông góc chung của và .
Do đó .
Câu 46. [HH11.C3.5.D04.c] (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho lăng trụ đứng có . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .
Có là hình lăng trụ đứng nên
nên
Xét tam giác có
.
Vậy
Câu 25.[HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp tứ giác đều có đáy bằng , tạo với đáy một góc . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi . Ta có
Vì tạo với đáy một góc nên . Do đó:
Mặt khác, .
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . Ta có
Xét tam giác .
Vậy .
Câu 19.[HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
A. .
B. .
C. .
D.
Lời giải
Chọn B
Gọi lần lượt là trung điểm của
Khi đó mà
Tam giác đều nên
Mà
Do đó
Mặt khác ta có
Do đó .
Câu 23. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi là trung điểm của , hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của , góc giữa và mặt đáy bằng (tham khảo hình vẽ bên). Gọi là trọng tâm tam giác . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi giao điểm của với là . Suy ra là trung điểm của .
Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống mặt phẳng .
Ta có .
Suy ra .
Theo bài ra ta có suy ra .
Suy ra .
Do góc suy ra tam giác vuông cân tại .
Suy ra .
Suy ra .
Xét tam giác có:
Dễ thấy .
.
Suy ra .
Xét tam giác có:
, ,
Suy ra .
Thể tích khối chóp là: .
Suy ra .
Câu 24. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác . Biết tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Kéo dài cắt suy Ra là trung điểm .
Trong kẻ đường thẳng qua và song song với cắt tại ta có:
vậy .
Dễ thấy .
Tam giác có .
Vậy .
, .
Suy ra .
Tam giác có: (1).
suy ra (2).
Tam giác có .
Tam giác có .
Tam giác có .
suy ra .
Gọi là đương cao của tam giác .
Từ (1) và (2) có: suy ra đường cao .
Vậy .
.
Suy ra .
Câu 25. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , hai đường chéo cắt nhau tại . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của . Gọi là trọng tâm tam giác . Biết tạo với mặt phẳng đáy góc , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Kéo dài cắt tại trung điểm của , gọi là trung điểm .
Hình thoi có nên tam giác đều và .
Tam giác vuông cân vì .
Dễ thấy nên .
Có
Tam giác có
Tam giác có suy ra trung tuyến
Tam giác có .
Suy ra .
.
Vậy .
Câu 35. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , . Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc . Gọi là trung điểm của cạnh , là giao điểm của và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm của và là giao điểm của và .
Ta có:
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ lên , là hình chiếu của lên .
Ta có
.
Mặt khác: .
.
.
Vậy .
Câu 33. [HH11.C3.5.D04.c] (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Trong kẻ
Khoảng cách .
đôi một vuông góc với nhau , mà .
Trong kẻ

.
.
Vậy .
Câu 21. [HH11.C3.5.D04.c] (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa đường thẳng và đường thẳng bằng bao nhiêu ?
A. . B. . C. . D..
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm của, ta có nên (hình vẽ).
Trong tam giác vuông ta có .
Câu 1. [HH11.C3.5.D04.c] (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật . Cạnh bên và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là hình chiếu của trên cạnh . Ta có
.
Suy ra là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và . Do đó .
vuông cân tại có là đường cao nên là trung điểm của , suy ra .
Vậy .
Câu 43. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có là hình vuông cạnh và vuông góc với mặt đáy. Biết . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Do .
Vậy . (1)
Kẻ tại trong
Từ
Xét :
Vậy .
Câu 46: [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Góc giữa và mặt phẳng là . Hình chiếu của lên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Dựng hình thoi
.
Trong mặt phẳng : Kẻ , . Suy ra .
Trong mặt phẳng : Kẻ , với .
Do mà nên .
Từ suy ra
Ta có
Tam giác có : , , ,.
Lại có .
Trong tam giác đều vẽ đường cao .
.
Trong tam giác vuông ta có : .
Vậy .
Câu 47: [HH11.C3.5.D04.c] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật cạnh , . Mặt phẳng và cùng vuông góc với . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Tính khoảng cách giữa và biết .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
* , mà .
Trong kẻ tại .
là đoạn vuông góc chung của và .
* Ta có: .
; ; .
Câu 42. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , chiều cao bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm của tam giác , là trọng tâm của tứ diện thì là trung điểm
Gọi là trung điểm của , là trung điểm
Trong tam giác có là trung điểm , là trung điểm nên .
Mặt khác, nên song song với mp
Suy ra
Kẻ tại , kẻ tại
Ta có
Tam giác vuông tại và có là đường cao nên
Cách khác: Gọi là trung điểm của
Trong mặt phẳng , nối cắt tại Nối cắt tại
Các bước tiếp theo làm tương tự như cách trên.
Câu 37. [HH11.C3.5.D04.c] (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và và Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Do và nên đều, do đó
Ta lại có, và nên vuông cân tại hay
Mặt khác, và nên
Từ đó, ta có suy ra vuông tại
Gọi là trung điểm của Khi đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp Vì nên
Gọi là điểm trên sao cho suy ra Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống Khi đó, và Do vuông tại nên theo công thức tính diện tích ta có:
Ta lại có, nên
Trong tam giác vuông dựng đường cao suy ra Khi đó,

Vậy
Câu 25. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng , .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó:
, ; , suy ra .
Ta có: , ,
Suy ra
Vậy
Câu 38. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Gọi là giao điểm của và ; là trung điểm của .
Ta có là đường trung bình trong tam giác nên .
Ta có
Từ kẻ ; mà nên
Suy ra
Tam giác vuông tại có và và có là đường cao nên:
Vậy .
Câu 25. [HH11.C3.5.D04.c] Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Theo bài ta đôi một vuông góc suy ra .
Qua dựng đường thẳng .
Khi đó
Từ kẻ , suy ra .
Tam giác vuông cân tại suy ra .
Tứ giác là hình vuông suy ra .
Trong tam giác vuông ta có: .
Vậy khoảng cách giữa và bằng .
Câu 7. [HH11.C3.5.D04.c] Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi lần lượt là trung điểm của và
cân tại nên
cân tại nên
Suy ra là đoạn vuông góc chung của và nên .
Ta có .
Vậy .
Câu 36. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng Mặt bên là tam giác cân tại cạnh bên hợp với mặt đáy một góc , mặt bên vuông góc với mặt đáy và là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Vì nên
vuông cân tại
Đáy là tam giác đều cạnh bằng Do đó .
Dựng hình bình hành , dễ thấy là hình chữ nhật.
Khi đó
Do .
Trong tam giác vuông
Câu 37. [HH11.C3.5.D04.c] (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và , , và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo giả thiết: , , và nên ta được các góc có số đo như hình vẽ.
Trong tam giác : .
Tam giác đều nên .
Tam giác vuông tại : .
Từ đó vuông tại . Gọi là trung điểm của .
Do nên hình chiếu của xuống đáy trùng với tâm của đáy.
Do nên .
Từ kẻ , mà nên .
Từ kẻ , (vì ) .
.
.
Trong tam giác vuông .
Ta có: .
Câu 43. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có là hình vuông cạnh và vuông góc với mặt đáy. Biết . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Do .
Vậy . (1)
Kẻ tại trong
Từ
Xét :
Vậy .
Câu 43. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có là hình vuông cạnh và vuông góc với mặt đáy. Biết . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Chứng minh được:
Ta có: là hình chiếu của lên .
Dựng là khoảng cách của và .
Xét tam giác vuông tại :
Câu 6. [HH11.C3.5.D04.c] Cho lăng trụ đều có , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của . Ta có và nên .
Vì .
đều có trung tuyến nên
.
Câu 14. [HH11.C3.5.D04.c] Hình chóp đều. là trọng tâm tam giác . Biết rằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B.. C. . D..
Lời giải
Chọn A
Trong , kẻ song song . Đặt
Khi đó:
Trong , kẻ tại
Trong , kẻ tại
Ta chứng minh được :
Xét có

Xét tam giác có : .
Vậy .
Câu 16. [HH11.C3.5.D04.c] Cho lăng trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm , vì là tam giác đều nên .
Mặt khác . Do đó .
Ta có
.
Câu 44. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm , , (như hình vẽ). Tính khoảng cách giữa và .
A. . B. .
C. D. .
Lời giải
Chọn D
Trong , dựng đường thẳng qua và song song cắt tại .
Khi đó .
Kẻ .
Trong , kẻ .
Khi đó
mà .
Ta có
.
.
.
Vậy .Câu 14. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên ; Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là tâm hình vuông , suy ra (1)
Gọi là trung điểm , suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên tại .
Vì và nên .
Tam giác vuông tại :
Trong tam giác vuông tại :
.
Vậy .
Câu 38. [HH11.C3.5.D04.c] Cho hình lập phương cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của và. Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1
Gọi P là trung điểm Ta có . Do đó .
.
Nhận thấy nên tam giác vuông tại .
Do đó .
Ta có .
Vậy .
Cách 2:
Gọi là trung điểm . Ta có .
Đồng thời, .
Do đó
(vì cắt tại trọng tâm của tam giác).
Nhận thấy tứ diện là tứ diện vuông tại nên
.
Vậy .
Cách 3: Tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, .
.
; .
.
Câu 50. [HH11.C3.5.D04.c] (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là điểm trung điểm của đoạn . Gọi là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
A. B. C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có
Do , với O là giao điểm hai đường chéo
Do tứ diện vuông tại O nên
Vậy Câu 27. [HH11.C3.5.D04.c] (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , là trung điểm của , hình chiếu lên mặt đáy là trung điểm của , góc giữa và đáy là . Khoảng cách giữa và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Kẻ đường thẳng song song với , kẻ tại .
Vì nên .

onthicaptoc.com Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau