06- HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (P2)
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của và . Chứng minh rằng :
a) .
b) .
c) Gọi là giao điểm của và ; là điểm thuộc sao cho . Chứng minh .
d) Gọi là điểm thuộc đoạn . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
a) Ta có là đường trung bình
Suy ra .Tương tự ; Suy ra (hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau)
b) Gọi là trung điểm của
Ta có
Suy ra là hình bình hành.
Suy ra ; suy ra
c) Theo định lý Talet ta có:
Mà
Suy ra (Talet đảo) . Suy ra
d) Trong gọi cắt tại .
Ta có nằm trong hai mặt phẳng và
Nên là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng :
a) .
b) .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
a) Ta có là đường trung bình hbh
Suy ra (1)
là đường trung bình tam giác
Suy ra (2)
(1), (2) suy ra
b) Gọi là trung điểm
Thì là trung bình tam giác
Suy ra mà
Suy ra là hình bình hành, suy ra suy ra (3)
Mà là đường trung bình tam giác , suy ra (4)
(3),(4) suy ra
c) Gọi là giao của và . Ta có suy ra giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng qua
d) Gọi cắt tại thì ta có ngay là giao tuyến của và
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác . Gọi và là trung điểm của và
a) Chứng minh rằng :
b) Tìm giao điểm của và
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và
Lời giải
a) Ta có là đường trung bình của hbh
Suy ra , mà suy ra
Suy ra là hình bình hành, suy ra
b) là giao điểm và
c) Gọi là giao điểm của và
Thì nằm trong và
Suy ra giao tuyến của và là
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác . Gọi là trung điểm của
a) Chứng minh rằng :.
b) Tìm giao điểm của và .
c) Mặt phẳng đi qua trung điểm của và song song với . Xác định thiết diện của và hình lăng trụ đã cho.
Lời giải
a) Gọi là trung điểm
Trong dựng hbh , ta có
Suy ra , suy ra
Ta lại có (t/c hbh), suy ra là hình bình hành
Suy ra , suy ra
b) Gọi cắt tại thì là giao tuyến của và
Gọi cắt tại , ta được là giao điểm của và
c) Gọi là trung điểm
Dựng thì
Dựng thì ta được
Dựng
Suy ra giao với
Gọi là giao của và
cắt tại suy ra là giao tuyến của với
là trung điểm của suy ra thẳng hàng
Suy ra giao với theo giao tuyến , nên thiết diện là hình
Bài 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng :
a) .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Gọi ; là trọng tâm của . Chứng minh .
d) Gọi là trung điểm . Chứng minh .
Lời giải
a) Do và lần lượt là trung điểm của và nên
Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên
Do vậy
b) Gọi khi đó là giao điểm của và
c) Dễ thấy lần lượt là trọng tâm tam giác và
Do đó
d) Do và lần lượt là trung điểm của và nên
Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên
Do vậy
Bài 6. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng :
b) Tìm giao tuyến và
c) Tìm giao tuyến và . Suy ra giao điểm của và
d) Gọi . Chứng minh rằng
Lời giải
a) Do và lần lượt là trung điểm của và nên
Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên
Do vậy
b) Giao tuyến và là đường thẳng qua và song song với và
c) Gọi (với là trung điểm của )
Khi đó giao tuyến và là
Dễ thấy lần lượt là trọng tâm của tam giác và do đó:
.
Bài 7. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của
a) Chứng minh rằng :.
b) Chứng minh rằng :.
c) Tìm giao điểm và .
d) Xác định thiết diện hình chóp và .
Lời giải
a) Do là đường trung bình tam giác nên . Mà (t/c hbh)
Suy ra . suy ra (1)
Do là đường trung bình tam giác
Nên . Suy ra (2)
(1), (2) suy ra
b) Gọi là trung điểm
Thì ta có là đường trung bình hình bình hành
Suy ra
Suy ra
Mà là đường trung bình tam giác nên
Suy ra hay là
c) Theo câu b ta có là giao điểm của với
d) Thiết diện hình chóp cắt bởi chính là hình thang
Bài 8. Cho hình chóp có đáy là hình thang ( là đáy lớn) . Gọi là trung điểm của sao cho
a) Chứng minh rằng :.
b) Tìm giao điểm và .
c) Tìm giao điểm và ( với ).
d) Gọi là trọng tâm . Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Ta có là đường trung bình tam giác
Suy ra , nên
b) Trong gọi cắt tại
Trong dựng
Suy ra
Mà nên
Nên là giao tuyến của và
Nên là giao điểm và
c) Trong , gọi cắt tại thì là giao điểm của và
d) Ta có . Suy ra (Talet đảo). Mà nên
Bài 9. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng :.
b) Chứng minh rằng :.
c) Tìm giao điểm của và . Chứng minh rằng :.
d) Tìm thiết diện hình chóp và . Thiết diện là hình gì ?
Lời giải
a) Ta có là trung bình tam giác nên song song với , mà nên
b) Do là trung bình tam giác nên , suy ra
Gọi là trung điểm của , hơn nữa là trung bình tam giác nên , suy ra là hình bình hành nên
c) Dễ thấy và tương ứng song song với và nên
d) Gọi là trung điểm của thì và song song với mặt , do đó thiết diện cần tìm là tứ giác là hình bình hành song song với
Bài 10. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của ; lấy điểm .
a) Tìm giao tuyến và .
b) Tìm giao điểm và .
c) Tìm thiết diện hình chóp và . Thiết diện là hình gì ?
d) Gọi . Chứng minh rằng :.
Lời giải
a) Do nên giao tuyến là đường thẳng đi qua và song song với mặt phẳng đáy
b) Trong mặt phẳng , kéo dài cắt tại , trong mặt phẳng , kéo dài cắt tại , giao điểm của và là
c) Thiết diện cần tìm là tứ giác

onthicaptoc.com Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về hai mặt phẳng song song môn toán lớp 11