Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)
06. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (P2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của BC, AB,
SB và AD. Chứng minh rằng
a) MNP / / SAC
( ) ( )
b) PQ / / (SCD)
c) Gọi I là giao điểm của AM và BD; J là điểm thuộc SA sao cho AJ = 2JS. Chứng minh IJ / / SBC
( )
d) Gọi K là điểm thuộc đoạn AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SKM) và (MNC)
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm của DC, AB,
SB, BG, BI. Chứng minh rằng
a) IJG / / SAD
( ) ( )
b) PQ / / SAD
( )
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG)
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD)
Bài 3: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi I và I’ là trung điểm của BC và B’C’
a) Chứng minh rằng AI / / A I
b) Tìm giao điểm của AI và AB C
( )
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng AB C và BAC
( ) ( )
Bài 4: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi H là trung điểm của A’B’
a) Chứng minh rằng CB / / AHC
( )
b) Tìm giao điểm của AC’ và BCH
( )
c) Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm của CC’ và song song với AH, CB’. Xác định thiết diện của (α) và hình
lăng trụ đã cho.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của SA, CD. Chứng
minh rằng
a) OMN / / SBC
( ) ( )
b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB)
c) Gọi G = SI ∩ BM , H là trọng tâm của ΔSCD. Chứng minh rằng GH / / SAD
( )
d) Gọi J là trung điểm AD, E ∈ MJ. Chứng minh rằng OE / / SCD .
( )
Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CD,
SC.
a) Chứng minh rằng (MNP) / / (SBD)
b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP)
d) Gọi I = AP ∩ SO, J = AM ∩ SO. Chứng minh rằng IJ / / MNP
( )
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,J, K là trung điểm SA, SB, BC.
a) Chứng minh rằng IJ / / SCD , IJK / / SCD
( ) ( ) ( )
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
b) Chứng minh rằng IJK / / SD
( ) ( )
c) Tìm giao điểm AD và (IJK)
d) Xác định thiết diện hình chóp và (IJK)
Bài 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung điểm BC,
SB; P ∈ AD sao cho 2PD = PA.
a) Chứng minh rằng MN / / SCD
( )
b) Tìm giao điểm SA và (MNP)
c) Tìm giao điểm SO và (MNP) (với O = AC ∩ BD)
d) Gọi G là trọng tâm ΔSAB. Chứng minh rằng GP / / SBD .
( )
Bài 9: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Q, E, F, I là trung điểm BC,
AD, SD, SB.
a) Chứng minh rằng FO / / (SBC)
b) Chứng minh rằng AI / / QEF
( )
c) Tìm giao điểm J của SC và (QEF). Chứng minh rằng IJE / / ABCD
( ) ( )
d) Tìm thiết diện hình chóp và (IJF). Thiết diện là hình gì?
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, SC;
lấy điểm P ∈ SA.
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
b) Tìm giao điểm SD và (MNP)
c) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiết diện là hình gì?
d) Gọi J ∈ MN. Chứng minh rằng OJ / / SAD
( )
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của BC, AB,
SB và AD. Chứng minh rằng
a) MNP / / SAC
( ) ( )
b) PQ / / SCD
( )
c) Gọi I là giao điểm của AM và BD; J là điểm thuộc SA sao cho AJ = 2JS. Chứng minh IJ / / SBC
( )
d) Gọi K là điểm thuộc đoạn AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SKM) và (MNC)
Lời giải:
a) Ta có PN là đường trung bình ΔSAB
Suy ra PN // SA. Tương tự MP//SC, Suy ra (MNP)//(SAC).
(2 mp có cặp cạnh song song cắt nhau).
b) Gọi R là trung điểm SC.
1
Ta có PR / / = AD⇒ PR / / = QD
2
Suy ra PRDQ là hình bình hành.
Suy ra PQ//DR suy ra PQ//(SCD).
MI BM 1
c) Theo định lí Talet ta có: = = ,
IA AD 2
SJ 1 MI SJ
Mà = ⇒ =
JA 2 IA JA
Suy ra IJ//SM (Ta-let đảo). Suy ra IJ//(SBC).
d) Trong (ABCD) gọi NC cắt KM tại F.
Ta có M, F nằm trong 2 mặt phẳng (SKM) và (MNC)
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Nên MF là giao tuyến của (SKM) và (MNC).
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm của DC, AB,
SB, BG, BI. Chứng minh rằng
a) (IJG) / / (SAD)
b) PQ / / SAD
( )
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG)
d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD)
Lời giải:
a) Ta có IJ là đường trung bình hbh ABCD
Suy ra JI//AD (1)
JG là đường trung bình tam giác SAB
Suy ra JG//SA (2)
(1),(2) suy ra (IJG)//(SAD)
b) Gọi K là trung điểm SA.
Thì KG là trung bình tam giác SAB
1 1
Suy ra KG / / = AB mà ID / / = AB
2 2
Suy ra IGKD là hình bình hành, Suy ra IG//KD suy ra IG // (SAD) (3)
Mà PQ là đường trung bình tam giác BGI, suy ra PQ//GI (4)
Từ (3),(4) suy ra PQ//(SAD)
c) Gọi O là giao của IJ và AC. Ta có SA // JG suy ra giao tuyến hai mp là đường thẳng qua O // SA // JG
d) Gọi CG cắt KD tại M thì ta có ngay MA là giao tuyến của (AGC) và (SAD)
Bài 3: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi I và I’ là trung điểm của BC và B’C’
a) Chứng minh rằng AI / / A I
b) Tìm giao điểm của AI và AB C
( )
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng AB C và BAC
( ) ( )
Lời giải:
a) Ta có II’ là đường trung bình của hbh BCC’B’
Suy ra II’//=BB’, mà BB’//=AA’ suy ra II’//=AA’
Suy ra II’A’A là hình bình hành, suy ra AI//A’I’
b) A là giao điểm của AI và (AB’C’)
c) Gọi K là giao điểm của AB’ và A’B
Thì K nằm trong (AB’C’) và (BA’C’)
Suy ra giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’) là C’K.
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Bài 4: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi H là trung điểm của A’B’
a) Chứng minh rằng CB / / AHC
( )
b) Tìm giao điểm của AC’ và BCH
( )
c) Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm của CC’ và song song với AH, CB’. Xác định thiết diện của (α) và hình
lăng trụ đã cho.
Lời giải:
a) Gọi G là trung điểm AB.
Trong (ABC) dựng hbh AGCI, ta có CG//C’H, AI//CG
Suy ra AI//C’H, suy ra I ∈(HAC )
Ta lại có B’H//=AG//=CI (t/c hbh), suy ra HB’CI là hình bình hành.
Suy ra CB’//IH, suy ra CB’//(HAC’)
b) Gọi AI cắt BC tại K thì HK là giao tuyến của (HBC) và (AHC’I)
Gọi KH cắt AC’ tại O, ta được O là giao điểm của AC’ và (BCH)
c) Gọi M là trung điểm CC’.
Dựng MQ // IC’ (Q thuộc IC) thì MQ // AH
Dựng MN // B’C thì ta được (α) = (MNQ)
Dựng QP // MN ( P thuộc A’B’)
Suy ra (α) giao với ( ABC) = PN
Gọi T là giao của PN và AC
MT cắt AC tại D suy ra MD là giao tuyến của (α) với ( ACCA)
D là trung điểm của AC suy ra Q,D,G thẳng hàng.
Suy ra (α) giao với (ABC) theo giao tuyến DG, nên thiết diện là hình MNPGD.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của SA, CD. Chứng
minh rằng
a) OMN / / SBC
( ) ( )
b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB)
c) Gọi G = SI ∩ BM , H là trọng tâm của ΔSCD. Chứng minh rằng GH/ / SAD
( )
d) Gọi J là trung điểm AD, E ∈ MJ. Chứng minh rằng OE / / SCD .
( )
Lời giải:
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
a) Do O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên
OM / /SC .
Mặt khác O và N lần lượt là trung điểm của BD và CD nên
ON / /BC .
Do vậy OMN / / SBC .
( ) ( )
b) Gọi I = ON ∩ AB khi đó I là giao điểm của ON và
(SAB)
c) Dễ thấy G,H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD
SG SH 2
do đó = = ⇒ GH / /IN / / AD⇒ GH / / SAD
( )
SI SN 3
d) Do O và J lần lượt là trung điểm của AC và CD nên
OJ / /BC .
Mặt khác O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OM / /SC .
Do vậy OMJ / / SCD ⇒ OE / / SCD
( ) ( ) ( )
Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CD,
SC.
a) Chứng minh rằng MNP / / SBD
( ) ( )
b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP)
d) Gọi I = AP ∩ SO, J = AM ∩ BD Chứng minh rằng IJ / / MNP
( )
Lời giải:
a) Do N và M lần lượt là trung điểm của CD và BC
nên MN / /BD .
Mặt khác P và N lần lượt là trung điểm của SC và
CD nên NP / /BC .
Do vậy MNP / / SBD .
( ) ( )
b) Giao tuyến (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S
và song song với AB và CD.
c) Gọi E = MN ∩ AD; F = KP ∩ AS ( với K là trung
điểm của MN)
Khi đó giao tuyến của (MNP) và (SAD) là EF.
d) Dễ thấy I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và
SBC do đó
AI AJ 2
= = ⇒ IJ / /MP⇒ IJ / / MNP
( )
AP AM 3
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,J, K là trung điểm SA, SB, BC.
a) Chứng minh rằng IJ / / SCD , IJK / / SCD
( ) ( ) ( )
b) Chứng minh rằng IJK / / SD
( ) ( )
c) Tìm giao điểm AD và (IJK)
d) Xác định thiết diện hình chóp và (IJK)
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Lời giải:
a) Do IJ là đường trung bình tam giác SAB
nên IJ // AB. Mà AB // CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra IJ // CD, suy ra IJ // (SCD) (1)
Do JK là đường trung bình tam giác SBC
Nên JK // SC, suy ra JK // (SCD) (2)
(1),(2) suy ra (IJK) // (SCD)
b) Gọi L là trung điểm AD.
Thì ta có LK là đường trung bình hình bình hành ABCD
Suy ra LK // AB // IJ
Suy ra L ∈ IJK
( )
Mà IL là đường trung bình tam giác SAD nên IL // SD
Suy ra SD // (IJKL) hay là SD // (IJK).
c) Theo câu b ta có L là giao điểm của AD với (IJK)
d) Thiết diện hình chóp cắt bởi (IJK) chính là
hình thang (IJKL).
Bài 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung điểm BC,
SB; P ∈ AD sao cho 2PD = PA.
a) Chứng minh rằng MN / / SCD
( )
b) Tìm giao điểm SA và (MNP)
c) Tìm giao điểm SO và (MNP) (với O = AC ∩ BD)
d) Gọi G là trọng tâm ΔSAB. Chứng minh rằng GP / / SBD .
( )
Lời giải:
a) Ta có MN là đường trung bình tam giác SCB
Suy ra MN//SC, nên MN//(SCD)
b) Trong (ABCD) gọi PM cắt AC tại Q.
Trong (SAC) dựng QK//AC (K thuộc SA)
Suy ra QK//AC//MN
Mà K thuộc PM nên KQ thuộc (MNP)
Nên QK là giao tuyến của (SAC) và (MNP)
Nên Q là giao điểm của SA với (MNP)
c) Trong (SAC), gọi KQ cắt SO tại E
thì E là giao điểm của SO với (MNP).
AP AG
d) Ta có = = 2 Suy ra PG / /DN (Talet đảo)
PD GN
Mà DN ⊂ SCD Nên PG // (SCD).
( )
Bài 9: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Q, E, F, I là trung điểm BC,
AD, SD, SB.
a) Chứng minh rằng FO / / SBC
( )
b) Chứng minh rằng AI / / (QEF )
c) Tìm giao điểm J của SC và (QEF). Chứng minh rằng IJE / / ABCD
( ) ( )
d) Tìm thiết diện hình chóp và (IJF). Thiết diện là hình gì?
Lời giải:
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
a) Ta có OF là trung bình tam giác ADB nên OF song song với SB, mà SB thuộc (SBC) nên OF song song
với (SBC).
b) Do EF là trung bình tam giác SAD nên EF song song với SA, EQ song song với AB, suy ra (SAB) và
(QEF) song song với nhau. Gọi J là trung điểm của SC, hơn nữa IJ là trung bình tam giác SBC nên IJ song
song và bằng EA, suy ra AEJI là hình bình hành nên AI song song với EJ.
c) Dễ thấy FJ và IJ tương ứng song song với DC và BC nên IJE / / ABCD .
( ) ( )
d) Gọi H là trung điểm của SA thì FH và IH song song với mặt (ABCD), do đó thiết diện cần tìm là tứ giác
HFJI là hình bình hành song song với (ABCD).
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, SC;
lấy điểm P ∈ SA.
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
b) Tìm giao điểm SD và (MNP)
c) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiết diện là hình gì?
d) Gọi J ∈ MN. Chứng minh rằng OJ / / SAD
( )
Lời giải:
a) Do AB song song với CD nên giao tuyến là đường thẳng d đi qua S và song song với mặt phẳng đáy
(ABCD).
b) Trong mặt phẳng (SAB), kéo dài PM cắt AB tại Q, trong mặt phẳng (PMNQ), kéo dài QN cắt SD tại R,
giao điểm của SD và (MNP) là R.
c) Thiết diện cần tìm là tứ giác PMNR.
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !

onthicaptoc.com Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về hai mặt phẳng song song của thầy Đặng Việt Hùng