PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 1
Bài 1: (1 điểm) Tìm số biết: , và x – y + z = 4
Bài 2: (1 điểm) Biết; ;
và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: .
Bài 3: (2,5 điểm0
a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:
f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1
Bài 1: (1điểm)
và x, y, z N, x ≠ 0 Þ
Þ
Þx = 2; y = 3; z = 5. Vậy = 235
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2: (1,5 điểm)
Ta có: (vì 9 + 16 = 25)
Suy ra: 2c2= a(b – c)
Þ (vì a ≠ 0; c ≠ 0)
Þ (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3
biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0
Þ m = 5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9
g(x) = (4x2 – 9)2 + 9
Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0 Þ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9.
Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9
Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0
Þ 4x2 - 9 = 0 Þ 4x2 = 9 Þx2 = Þ x = .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 4: (2 điểm)
Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)
Ta có: * 112 = 5a + r
Þ 5a < 112 Þ a 22 (1)
*a > r Þ 5a + r < 5a + a
112 < 6a
a > 112 : 6
a ≥ 19 (2)
Từ (1) và (2) Þ a = 19; 20; 21; 22
lập bảng số:
a
19
20
21
22
r = 112 – 5a
17
12
7
2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chứng minh DCHO = D CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận D FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh D FIG cân tại I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.
- Chứng minh D AHK = D IGK (g-c-g).
- Suy ra AK = KI..
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE ^ AB tại E. Tương tự câu a ta có: D AEH, D BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: D ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của D ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng.
A
E H
K

O G
B F I C
0,5đ
0,5đ
0,5đ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 2
Câu 1: ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a-
b-
Câu 2: ( 2 điểm)
a- Tìm số nguyên a để là số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0
Câu 3: ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5: ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với athì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó không thoả mãn
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CH = BC
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a.
b.
Bài 3: (4 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
b) Cho . Chứng minh rằng:
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3
Bài 1:(4 điểm):
Đáp án
Thang điểm
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có:
=
=
=
= 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
0,5 điểm
Bài 2:(4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)


0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 3: (4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = (1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k
Do đó (2)
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đó ta có só A =+( ) + () = .
b) (1,5 điểm)
Từ suy ra
khi đó
=
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
Vẽ hình
0,5 điểm
a/ (1điểm) Xét và có :
AM = EM (gt )
= (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c ) 0,5 điểm
AC = EB
Vì = =
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE . 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét và có :
AM = EM (gt )
= ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) 0,5 điểm
Suy ra =
Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
+ = 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o
= 90o - = 90o - 50o =40o 0,5 điểm
= - = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm
là góc ngoài tại đỉnh M của
Nên = + = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm
Bài 5: (4 điểm)
-Vẽ hình
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1 điểm
suy ra 0,5 điểm
Do đó 0,5 điểm
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên
ABC đều nên 0,5 điểm
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên 0,5 điểm
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ;
Vậy: ABM = BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 4
Câu 1: ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a.
b.
Câu 2: ( 2 điểm)
a. Tìm số nguyên a để là số nguyên
b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0
Câu 3 : ( 2 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì với b, d khác 0
b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 +… để được một số có ba chữ
số giống nhau .
Câu 4 : ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5 : ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 4
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với athì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x- 2xy + y = 0
Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d)
Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n + 1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74
( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37
Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó không thoả mãn
Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CH = BC
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450 + 300 =750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2 =19 không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 5
Câu 1: (1,5 điểm)
a. Thực hiện phép tính:
b. So sánh: và .

onthicaptoc.com Bo 20 de thi HSG Toan 7 cap huyen