- Bình luận.
- Từ các ví dụ trên ta nhận thấy rằng, để chứng minh phương tình có nghiệm ta thường sử dụng đánh giá: hoặc . Tuy nhiên đánh giá này chỉ đúng với trong khoảng nào đó, từ đó suy luận rằng cần chia nhỏ miền xác định D để làm chặt các bất phương trình trong những đánh giá đó.
- Để xác định được các khoảng chia, ta sử dụng vệc giải hệ các bất phương trình như các ví dụ trên để tìm ra các khoảng đánh giá thích hợp.
Ví dụ 4. Giải phương trình (VMO – 1995. Bảng B)
- Phân tích.
- Ta nhận định phương trình đã có nghiệm duy nhất (có thể sử dụng sự hỗ trợ từ máy tính bỏ túi), từ đó chúng ta nảy sinh ý tưởng đánh giá xoay quanh giá trị
- Lại có: và nếu chúng ta chứng minh được rằng: bài toán sẽ được giải quyết, mà: , lúc này (*) chỉ đúng với
- Từ đó ý tưởng xử lý vấn đề này là sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình để làm ‘hẹp’ khoảng có nghiệm.
Thật vậy: PT
Và thì (*) hiển nhiên đúng.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với:
Từ phương trình ban đầu ta có:

Mà: luông đúng
Từ đó: , dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Hay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
- Chú ý: Trong một số bài toán việc sử dụng điều kiện có nghĩa là chưa đủ để chúng ta sử dụng đánh giá trong phương trình, từ đó ta nghĩ đến phương án tìm điều kiện có nghiệm của phương trình đó.
Bổ đề: Xét phương trình:
- Nếu thì để phương trình (*) có nghiệm ta cần phải có .
- Nếu thì để phương trình (*) có nghiệm ta cần phải có
Ví dụ 5. Giải phương trình
- Phân tích. Bài toán nhìn có dáng dấp của hàm số, tuy nhiên phương pháp sử dụng hàm số với bài toán này là không đơn giản. Ta có thể liên tưởng đến việc sử dụng đánh giá để thay thế.
Xét các bất phương trình:


Với điều kiện xác định không làm các bất phương trình trên nghiệm đúng, từ đó ta nảy sinh ý tưởng làm hẹp khoảng đánh giá này bằng cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình. Thật vậy:
Đặt ta có:



Rõ ràng các bất phương trình trên nghiệm đúng.
Lời giải
Đặt ta có:



Suy ra các bất phương trình sau đây nghiệm đúng


Hay: , . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
- Kết luận. Phương trình có nghiệm duy nhất
- Bình luận. Phương pháp đánh giá này, chúng ta vẫn thường gọi là đánh giá “nhỏ” nó được thể hiện rõ nét nhất trong sự kết hợp với phương pháp nhân liên hợp (xem chương sau). Cái khó khăn trong phương pháp chính là sự tinh tế và kinh nghiệm “đọc bài toán” của những người giải toán. Và để rèn luyện khả năng đánh giá “nhỏ” mời các bạn cúng làm một số bài tập.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình Đáp số:
Bài 2. Giải phương trình (TH&TT) Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình KQ:
Bài 5. Giải phương trình Đáp số:
Bài 6. Giải phương trình Đáp số:
Bài 7. Giải phương trình Đáp số: Vô nghiệm.
Bài 8. Giải phương trình Đáp số:
Bài 9. Giải phương trình Đáp số:
Bài 10. Giải phương trình Đáp số:
Bài 11. Giải phương trình Đáp số:
2. Sử dụng các bất đẳng thức kinh điển.
Các bất đẳng thức thường dùng.
+ Bất đẳng thức AM – GM (bất dẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân).
- Cho 2 số không âm a, b:
Dấu ‘=’ xảy ra
- Cho 3 số không âm a, b, c:
Dấu ‘=’ xảy ra
- Cho n số không âm:
Dấu ‘=’ xảy ra .
+ Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS)
- Với bộ 4 số thực a, b, x, y ta có:
Dấu ‘=’ xảy ra .
Dấu ‘=’ xảy ra
- Với bộ 2n số

Dấu ‘=’ xảy ra

Dấu ‘=’ xảy ra .
+ Thông thường việc giải phương trình bằng sử dụng bất đẳng thức chỉ dành riêng cho học sinh giỏi toán, nó dựa trên cơ sở vốn có về Bất Đẳng Thức của họ cũng như dựa trên những kinh nghiệm giải toán riêng của từng người làm cơ sở lý luận.
+ Bài viết này tôi không thiên nhiều về đối tượng học sinh giỏi, mà muốn sử dụng cơ sở là việc kiểm tra phương trình trên máy tính CaSiO để phán đoán một bài toán nên hay không nên sử dụng bất đẳng thức.
- Yêu cầu. Đọc bài ‘Sự hỗ trợ của máy tính CaSiO trong giải phương trình vô tỷ’.
- Kiểu 1. ĐÁNH GIÁ GIÁN TIẾP
Ví dụ 1. Giải phương trình (VMO – 1995 – bảng A)
- Phân tích.
- Sử dụng máy tính CaSiO ta kiểm tra các giá trị của hàm số , ta nhận thấy: đồng thời các giá trị này khá lớn, điều đó chứng tỏ bất đẳng thức là không chặt. Từ đó ta có thể sử dụng đánh giá qua một đại lượng trung gian.
- Nhận thấy là nghiệm, đồng thời sự xuất hiện của đại lượng giúp chúng ta nhận ra sự xuất hiện của bất đẳng thức AM – GM trong trường hợp này là khả thi.
- Ta có: , từ đó nếu chúng ta chứng minh được , bài toán sẽ được giải quyết.
Thật vậy: luôn đúng .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
.
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Ta sẽ chứng minh: ,(*)
Thật vậy: luông đúng với mọi Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Từ đó ta có:

Hay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2. Giải phương trình (TH&TT)
- Bình luận. Đây là một bài toán quen thuộc với rất nhiều bạn, nó xuất hiện ở hầu hết các tài liệu bạn đọc được. Nếu hỏi làm thế nào? Nhiều người sẽ nói bạn nghe! Nhưng chúng ta lại hỏi vì sao lại làm vậy?
- Trước hết ta kiểm tra được rằng trong bảng TABLE của máy tính CaSiO, nhận thấy các giá trị này không quá gần với 0 (nghĩa là không có dạng 0.0000000000001 chẳng hạn) hay nói cách khác bất đẳng thức này không chặt. Từ đó ta phán đoán có thể sử dụng đánh giá nó qua đại lượng trung gian.
- Thứ hai: tất nhiên là sự xuất hiện của căn thức làm chúng ta nhắc nhớ đến bất đẳng thức quen thuộc CBS và lưu ý rằng phương trình có nghiệm
Lời giải
Điều kiện
Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có:
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Ta sẽ chứng minh: thật vậy: , đúng với mọi Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Hay nói cách khác phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 6. Giải phương trình
- Phân tích. Ta nhận thấy được các vấn đề:
- Bất đẳng thức không chặt.
- Nghiệm của phương trình
- có thể dùng CBS (tất nhiên dùng AM – GM cũng chẳng sao)
Lời giải
Điều kiện
Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có:
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Ta sẽ chứng minh: , thật vậy:
luôn đúng với mọi x. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi Hay phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 4. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện . Với điều kiện đó ta có ,
Suy ra
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Ta sẽ chứng minh: (*). Thật vậy:
đúng với mọi hay (*) được chứng minh. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
- Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 5. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có:

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có:

Do đó:
Ta sẽ chứng minh: thật vậy:
, luôn đúng với mọi Dấu ‘=’ xảy ra tại các bất đẳng thức là Do đó phương trình có nghiệm
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình Đáp số:
Bài 2. Giải phương trình Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình Đáp số:
Bài 5. Giải phương trình Đáp số:
Bài 6. Giải phương trình
Bài 7. Giải phương trình Đáp số:
Bài 8. Giải phương trình Đáp số:
(Chọn ĐT dự thi VMO 2013 – ĐHSP Hà Nội).
Bài 9. Giải phương trình Đáp số:
Bài 10. Giải phương trình .
(Chọn ĐT dự thi VMO 2013 – Lương Thế Vinh, Đồng Nai). Đáp số:
- Kiểu 2. ĐÁNH GIÁ TRỰC TIẾP
Ví dụ 1. Giải phương trình
- Phân tích. Kiểm tra hàm số bằng bảng TABLE của máy tính CaSiO – Xem bài sự hỗ trợ của máy tính CaSiO. Ta nhận thấy , đồng thời các giá trị này của rất gần với 0, điều này chứng tỏ bất đẳng thức sử dụng trong bài là khá chặt. Việc sử dụng đánh giá gián tiếp là không nên sử dụng.
- Nhân tử của bài toán là khi đó: - (Xem bài sự hỗ trợ của máy tính CaSiO), nên sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ta có:

Cộng (1) và (2) ta được điều mình cần.
Lời giải
Điều kiện

Dấu ‘=’ xảy ra kh và chỉ khi
Vậy nghiệm của phương tình đã cho là
Ví dụ 2. Giải phương trình
- Phân tích.
- Chúng ta dễ dàng kiểm chứng được đồng thời đây là một bất đẳng thức chặt. Nghiệm của phương trình là
- Đồng thời sự xuất hiện của các đại lượng làm ta liên tưởng ngay đến hai bất đẳng thức quen thuộc AM – GM và CBS.
Lời giải
Điều kiện Theo bất đẳng thức AM – GM:

Theo bất đẳng thức CBS

Suy ra
Nên VT = VP Hay phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có:


Dấu ‘=’ xảy ra

Xét hàm số Ta có:

Suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất
- Kết luận. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

onthicaptoc.com Bài 11. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung