DAÏNG 2. BAØI TOAÙN BOÁC SOÁ
A – CÔ BAÛN
Bài 1. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Trong đó .
Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì và .
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. Khi đó ta có các bộ số là hoặc thỏa mãn biến cố và cứ mỗi bộ thì có cách chọn nên có tất cả số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 2. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Lời giải
Số phần tử của tập là
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số là cách.
● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số là cách.
● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của phần tử nên có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 3. Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho .
Lời giải
Số phần tử của là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn chia hết cho . Từ chữ số đã cho ta có bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho là , , và . Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được số thuộc tập hợp .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 4. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác xuất để số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho . Suy ra và . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
● Trường hợp 1. Với : chữ số có cách chọn, có cách chọn, ba chữ số còn lại có cách chọn. Do đó trong tường hợp này có số .
● Trường hợp 2. Với : chữ số có cách chọn, có cách chọn, ba chữ số còn lại có cách chọn. Do đó trong tường hợp này có số .
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 5. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn có tổng các chữ số là một số lẻ. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố như sau:
● Trường hợp 1. Gồm một chữ số lẻ và hai chữ số chẵn.
Chọn một chữ số lẻ trong chữ số lẻ nên có cách, chọn hai chữ số chẵn trong chữ số chẵn có . Do đó có tất cả số thỏa mãn biến cố bao gồm chữ số đứng đầu.
Bây giờ ta tính riêng số các chữ số thỏa mãn biến cố nhưng có số đứng đầu, suy ra số đó có dạng . Chọn một chữ số lẻ trong chữ số lẻ nên có cách, chọn thêm một chữ số chẵn trong chữ số chẵn còn lại có cách. Do đó có số.
Suy ra trong trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. Gồm ba chữ số lẻ.
Chọn ba chữ số lẻ trong chữ số lẻ nên có cách.
Suy ra trong trường hợp này có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 6. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng .
Lời giải
Ta tính số phần tử thuộc tập như sau:
● Số các số thuộc có chữ số là .
● Số các số thuộc có chữ số là .
● Số các số thuộc có chữ số là .
Suy ra số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn có tổng các chữ số bằng . Các tập con của có tổng số phần tử bằng là , , .
● Từ lập được các số thuộc là .
● Từ lập được các số thuộc là .
● Từ lập được các số thuộc là .
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 7. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên số bất kì trong tập , tính xác suất để trong số được lấy ra có đúng số có chữ số .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố số được lấy ra có đúng số có chữ số . Để tìm số phần tử của biến cố ta làm như sau:
● Lập luận tương tự như trên ta được trong có số không có chữ số . Suy ra có số có chữ số .
● Số cách lấy số luôn có chữ số là cách.
● Số cách lấy số không có chữ số là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 8. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số lẻ có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập , tính xác suất để lấy được một số nhỏ hơn .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn.
● Số cách chọn chữ số có cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự trong tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn nhỏ hơn . Có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố là chữ số hoặc .
● Nếu thì chỉ có số duy nhất là số .
● Nếu thì số đó có dạng
Chọn có cách chọn.
Chọn thứ tự trong tập có cách.
Suy ra số các số thuộc dạng có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 9. Một hộp đựng chiếc thẻ được đánh số từ đến . Lấy ngẫu nhiên ra chiếc thẻ, tính xác suất để chữ số trên chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho .
Lời giải
Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên chiếc thẻ từ chiếc thẻ.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố chữ số trên chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho . Để cho biến cố xảy ra thì trong thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số hoặc chữ số . Ta đi tìm số phần tử của biến cố , tức thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số và cũng không có thẻ mang chữ số là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 10. Có tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên ra tấm thẻ, tính xác suất để có tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho .
Lời giải
Không gian mẫu là cách chọn tấm thể trong tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là .
Gọi là biến cố tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho . Để tìm số phần tử của ta làm như sau:
● Đầu tiên chọn tấm thẻ trong tấm thẻ mang số lẻ, có cách.
● Tiếp theo chọn tấm thẻ trong tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho ), có cách.
● Sau cùng ta chọn trong tấm thẻ mang số chia hết cho , có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính .
B – NAÂNG CAO
Bài 11. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số chẵn có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng .
● Trường hợp 1. Nếu thì có 1 cách chọn.
Số cách chọn chữ số có 6 cách chọn.
Chọn thứ tự cho trong tập có cách chọn.
Do đó trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. Nếu thì có 3 cách chọn.
Số cách chọn chữ số có 5 cách chọn vì và .
Chọn thứ tự cho trong tập có cách chọn.
Do đó trường hợp này có số.
Suy ra tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5. Để , suy ra .
● Trường hợp 1. Nếu
+) Có 2 cách chọn .
+) chẵn nên có 3 cách chọn chữ số .
+) Có cách chọn .
Suy ra có số thỏa mãn.
● Trường hợp 2. Nếu
+) Có 2 cách chọn .
+) Với thì có cách chọn . Với thì có 2 cách chọn chữ số , có 3 cách chọn chữ số và 3 cách chọn chữ số .
Suy ra có số thỏa mãn.
● Trường hợp 3. Nếu thì tương tự như trường hợp 2 có 60 số thỏa mãn.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 12. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên hai số từ , tính xác suất để mỗi số được chọn có tổng các chữ số bằng .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì và .
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Hai số được chọn mà mỗi số có tổng các chữ số bằng . Ta có các bộ chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm: .
● Mỗi bộ trong các bộ có số cách lập là số.
● Bộ có số cách lập là số.
Do đó có tất cả số có tổng ba chữ số bằng .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 13. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng .
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng . Gọi số được chọn có dạng .
Theo giả thiết .
● Trường hợp 1. Với , ta có cách chọn ; cách chọn ; cách chọn và cách chọn . Do đó có số.
● Trường hợp 2. Với . Tương tự có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 14. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng tổng các số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng tổng các số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn.
Số được chọn thỏa mãn biến cố nếu .
● Số có dạng , suy ra nên tập là .
Do đó trường hợp này có số.
● Số có dạng , suy ra nên tập là , , .
Do đó trường hợp này có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 15. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên số từ , tính xác suất để số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng .
Lời giải
Số phần tử của tập là
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng . Từ tập đã cho chỉ có một bộ số duy nhất thỏa mãn .
● Có số có chữ số khác nhau được lập thành từ tập .
● Giả sử ta chia số đó thành nhóm như sau:
+) Nhóm I gồm các số có chứa chữ số , có số.
+) Nhóm II gồm các số không chứa chữ số , có số.
Khi đó ứng với mỗi số ở nhóm I, có số ở nhóm II thỏa mãn .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 16. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có chữ số khác nhau đôi một. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Chọn chữ số từ tập để xếp vào vị trí có cách.
Do đó có số.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số trong số.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số có năm chữ số được chọn thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Vì chữ số không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp . Mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 17. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có chữ số khác nhau đôi một. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng . Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Chọn chữ số từ tập để xếp vào vị trí có cách.
Do đó có số.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số trong số.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước. Ta xét hai trường hợp:
● Trường hợp 1. Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nên các số được chọn thuộc tập . Mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Do đó trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. Số được chọn có chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước nên các số được chọn thuộc tập . Mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ có một cách sắp xếp theo thứ tự giảm dần. Do đó trường hợp này có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 18. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có chữ số khác nhau đôi một và thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng .
● Theo giả thiết nên thuộc tập .
● Mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ có một cách xếp thỏa .
Do đó có số.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số trong số.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn là số chẵn. Ta có các trường hợp sau:
● Nếu thì ta chọn chữ số trong chữ số để xếp vào hai vị trí nên có cách.
● Nếu thì ta chọn chữ số trong chữ số để xếp vào hai vị trí nên có cách.
● Nếu thì ta chọn chữ số trong chữ số để xếp vào hai vị trí nên có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 19. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số lớn nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm.
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số lớn nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm. Mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ
● Luôn chọn được số lớn nhất cho hàng đơn vị, số nhỏ nhất cho hàng trăm nên có cách.
● Ba vị trí còn lại có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 20. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng liền trước.
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng .
Khi đó
● Số cách chọn chữ số có cách vì .
● Số cách chọn chữ số có cách.
● Số cách chọn chữ số có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng liền trước. Có nghĩa là , ta mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố như sau.
● Trường hợp 1. tức đôi một khác nhau và có sự sắp xếp.
Vì và nên và . Cứ mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn .
Suy ra trường hợp này có số thỏa mãn.
● Trường hợp 2. . Vì và nên và .
Suy ra trường hợp này có số thỏa mãn.
● Trường hợp 3. . Vì và nên và .
Cứ mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn .
Suy ra trường hợp này có số thỏa mãn.
● Trường hợp 4. . Vì và nên và .
Cứ mỗi bộ gồm chữ số khác nhau lấy ra từ luôn có một cách sắp xếp thỏa mãn .
Suy ra trường hợp này có số thỏa mãn.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính

Bài 21. Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số lẻ và chữ số chẵn.
Lời giải
Đặt .
Gọi số cần tìm của tập có dạng với và .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự cho từ tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn luôn có mặt chữ số lẻ và chữ số chẵn. Ta mô tả không gian của biến cố như sau:
● Trước hết ta đếm các số dạng có chữ số lẻ và chữ số chẵn phân biệt tính cả trường hợp . Khi đó ta chọn ra chữ số lẻ và chữ số chẵn phân biệt từ tập rồi hoán vị các chữ số đó, có số.
● Tiếp theo ta xét các số có dạng trong đó gồm chữ số lẻ và chữ số chẵn (khác ) phân biệt. Khi đó ta chọn ra chữ số lẻ và chữ số chẵn (khác ) phân biệt từ tập rồi hoán vị các chữ số đó, có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 22. Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ.
Lời giải
Đặt .
Gọi số cần tìm của tập có dạng với và .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự cho từ tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn luôn có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ, tức là có chữ số chẵn và chữ số lẻ. Ta đi tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố như sau:
● Trong 10 số từ 0 đến 9 có 5 số chẵn, 5 số lẻ.
● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (kể cả số 0 đứng đầu) là .
● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (số 0 đứng đầu) là .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính .
Bài 23. Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có chữ số lẻ đứng kề nhau.
Lời giải
Vì số tự nhiên cần tìm có các chữ số đều lớn hơn nên số tự nhiên cần tìm được thành lập từ tập .
Suy ra số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số lẻ đứng kề nhau. Vì chữ số lẻ đứng kề nhau nên gom chúng thành chữ số .
● Bước 1. Xếp và hai chữ số chẵn còn lại có cách xếp.
● Bước 2. Ứng với mỗi cách ở Bước 1, có cách xếp các phần tử trong .
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 24. Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn là số chẵn và luôn có mặt các chữ số  và .
Lời giải
Đặt .
Gọi số cần tìm của tập có dạng với và .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự cho từ tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn là số chẵn và luôn có mặt các chữ số  và . Vì số được chọn là số chẵn nên .
● Trường hợp 1. .
Chọn vị trí trong vị trí còn lại để xếp hai chữ số và , có cách.
Chọn chữ số trong chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại, có cách.
Do đó trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. .
+) Có vị trí để xếp chữ số . Chọn chữ số trong chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại, có cách. Do đó có số (kể cả số đứng đầu).
+) Xét riêng trường hợp chữ số ở vị trí đầu tiên. Khi đó chữ số có cách xếp, chọn chữ số trong chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại có cách. Suy ra có số.
Tóm lại trong trường hợp này có số.
● Trường hợp 3. nên có cách chọn.
+) Chọn vị trí trong vị trí còn lại để xếp hai chữ số và , có cách. Chọn chữ số trong chữ số còn lại để xếp vào vị trí còn lại, có cách. Do đó có số (kể cả số đứng đầu).
+) Xét riêng trường hợp chữ số ở vị trí đầu tiên. Khi đó có cách xếp hai chữ số và cho vị trí còn lại. Suy ra có số.
Tóm lại trong trường hợp này có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 25. Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng liền giữa hai chữ số và .
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số đứng liền giữa hai chữ số và . Do đó số cần tìm phải chứa bộ hoặc .
● Trường hợp 1. Số cần tìm chứa bộ .
+) Chọn thêm tùy ý số từ tập có cách. Cho số vừa chọn và bộ hoán vị nên có cách. Suy ra có số (kể cả số đứng đầu).
+) Xét riêng trường hợp số đứng đầu, chọn thêm tùy ý số từ tập có cách. Cho số vừa chọn và bộ hoán vị nên có cách. Suy ra có số có chữ số đứng đầu.
Do đó trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. Số cần tìm chứa bộ . Tương tự có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 26. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng  chữ số lẻ và  chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng  chữ số lẻ và  chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau. Vì chữ số lẻ đứng kề nhau nên ta gom số lẻ thành số , có bộ . Khi đó biến cố trở thành Số được chọn là số chẵn có các chữ số được lập thành từ tập và bắt buộc phải có chữ số . Gọi số cần chọn thỏa mãn biến cố có dạng với .
` ● Trường hợp 1. , suy ra có cách chọn.
+) Có vị trí để xếp chữ số , ứng với mỗi cách xếp có cách xếp hai phần tử trong .
+) Chọn thứ tự chữ số từ tập để xếp vào vị trí trống còn lại, có cách.
Do đó trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. , suy ra có cách chọn.
+) Nếu xếp vào vị trí đầu tiên nên có 1 cách, ứng với cách xếp này có cách xếp hai phần tử trong . Chọn chữ số từ tập chữ số còn lại để xếp vào vị trí trống còn lại, có cách. Suy ra có tất cả số.
+) Nếu xếp vào vị trí thứ hoặc thứ thì có cách, ứng với cách xếp này có cách xếp hai phần tử trong . Chọn chữ số từ tập chữ số còn lại để xếp vào vị trí trống còn lại, có cách. Do đó số (kể cả số đứng đầu). Xét riêng trường hợp chữ số đứng đầu thì có số. Suy ra có số.
Do đó trường hợp này có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 27. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số có chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số và chúng đứng cạnh nhau.
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số và chúng đứng cạnh nhau. Gọi số cần tìm thỏa biến cố có dạng .
● Trường hợp 1. , suy ra có cách chọn.
+) Xếp các chữ số vào vị trí và có cách.
+) Chọn thứ tự từ tập có cách.
Do đó trường hợp này có số.
● Trường hợp 2. . Tương tự như trường hợp 1 nên có số.
● Trường hợp 3. , suy ra có cách chọn.
+) Xếp các chữ số đứng cạnh nhau có cách.
+) Chọn thứ tự hai chữ số từ tập để xếp vào hai vị trí còn lại có cách.
Do đó trường hợp này có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là
Vậy xác suất cần tính
Bài 28. Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn thỏa mãn phải có ba chữ số đứng liền với nhau và hai chữ số đứng liền với nhau.
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố Số được chọn thỏa mãn phải có ba chữ số đứng liền với nhau và hai chữ số đứng liền với nhau. Gọi là nhóm gồm ba chữ số và là nhóm gồm hai chữ số . Ta xét các trường hợp:
● Chọn thêm hai chữ số từ có cách. Hai chữ số vừa chọn cùng với và có cách xếp thứ tự. Ứng với mỗi cách ấy trong có cách xếp vị trí cho , trong có cách xếp vị trí cho . Do đó có tất cả số (kể cả số đứng đầu).
● Xét riêng trường hợp số đứng đầu. Ta chọn thêm một chữ số từ có cách. Chữ số vừa chọn cùng với và có cách xếp thứ tự. Ứng với mỗi cách ấy trong có cách xếp vị trí cho , trong có cách xếp vị trí cho . Do đó có số có số đứng đầu.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 29. Gọi là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp . Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau. Ta mô tả không gian của biến cố nhưu sau:
● Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số ).
● Có cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số ).
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 30. Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để chọn được một số gồm chữ số lẻ và chữ số luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số là số lẻ).
Lời giải
Số phần tử của tập là .
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn gồm chữ số lẻ và chữ số luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. Do số luôn đứng giữa số lẻ nên số không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
● Chọn trong vị trí để xếp số , có cách.
● Chọn trong số lẻ và xếp vào vị trí cạnh số vừa xếp, có cách.
● Chọn số lẻ trong số lẻ còn lại và chọn số chẵn từ sau đó xếp số này vào vị trí trống còn lại có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 31. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số trong đó chữ số có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn chia hết cho .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng .
● Sắp chữ số vào ba vị trí, có cách.
● Còn lại hai vị trí, chọn chữ số trong chữ số xếp vào hai vị trí đó, có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn chia hết cho . Có hai trường hợp xảy ra:
● Trường hợp 1. Hai chữ số còn lại là và , có số.
● Trường hợp 2. Hai chữ số còn lại là và , có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 32. Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn chia hết cho .
Lời giải
Gọi số cần tìm của tập có dạng .
● Ta có cách chọn vị trí cho chữ số , bốn chữ số còn lại có cách chọn nên có số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên).
● Xét các số có chữ số ở vị trí đầu tiên, khi đó có cách chọn vị trí cho chữ số , ba chữ số còn lại có cách chọn nên có số.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn chia hết cho . Ta có các trường hợp:
● Trường hợp 1. . Khi đó có cách chọn vị trí cho chữ số , ba chữ số còn lại có cách nên có số.
● Trường hợp 2. . Khi đó có cách chọn; , , có cách chọn nên có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Vậy xác suất cần tính
Bài 33. Gọi là tập tất cả các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số được chọn chia hết cho .
Lời giải
Đặt .
Gọi số cần tìm của tập có dạng .
● Số cách chọn chữ số có cách chọn vì .
● Số cách chọn thứ tự cho trong tập có cách.
Do đó tập có phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Số được chọn chia hết cho . Do đôi một khác nhau và nên , suy ra .
● Nếu thì có cách chọn, có cách chọn. Do đó có số.
● Nếu thì có cách, có cách chọn, có cách chọn. Do đó có số.
Suy ra số phần tử của biến cố là .

onthicaptoc.com Bài 10. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh