BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN 1
Bài 1: Từ 5 chữ số có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Bài 2: Cho các chữ số . Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:
Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Bài 3: Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số .
Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số mà các số đó nhỏ hơn số .
Bài 4: Với các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn ?
Bài 5: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ?
Bài 6: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn .
Bài 7: Cho tập hợp .
Lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số từ .
Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từ .
Bài 8: Cho tập hợp .
Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ .
Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 từ .
Bài 9: Cho tập hợp . Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số từ , trong đó:
Chữ số đầu tiên là chữ số 2.
Có mặt chữ số 1 và chữ số 2, đồng thời chữ số 1 và chữ số 2 đứng cạnh nhau.
Bài 10: Cho tập hợp .
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 6 từ .
Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ , trong đó có ít nhất 2 chữ số lẻ.
Bài 11: Cho tập hợp . Lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau trong đó:
Có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
Có đúng 3 chữ số chẵn và số chẵn đứng xen kẽ số lẻ.
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: Từ 5 chữ số có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Lời giải
+ Trước hết ta tìm số các chữ số gồm 4 chữ số khác nhau.
Có 4 khả năng chọn số hàng ngàn (không chọn chữ số 0).
Có khả năng chọn 3 chữ số cuối.
Suy ra có số.
+ Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0 có số.
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có số.
Do đó có số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Vậy có số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Bài 2: Cho các chữ số . Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:
Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Lời giải
Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng: hoặc hoặc .
Với số ta có: 5 cách chọn , 4 cách chọn , 3 cách chọn .
Suy ra có số.
Với số hoặc ta có: 4 cách chọn , 4 cách chọn , 3 cách chọn .
Suy ra có số và số .
Vậy có số chẵn.
Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng và .
Với số ta có: 5 cách chọn , 4 cách chọn .
Suy ra có số.
Với số ta có: 4 cách chọn , 4 cách chọn .
Suy ra có số.
Vậy có số cần tìm.
Gọi là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó có thể là , , .
Khi thì các số phải tìm là: , , , .
Suy ra có 4 số.
Khi hay thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử suy ra có số.
Vậy có số cần tìm.
Bài 3: Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số .
Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số mà các số đó nhỏ hơn số .
Lời giải
Xét các số chẵn với 3 chữ số khác nhau; , , .
Vì chẵn nên suy ra có 2 cách chọn .
Với mỗi cách chọn có cách chọn .
Vậy tất cả có số chẵn.
Xét với 3 chữ số khác nhau thuộc .
Nếu thì .
Nếu hoặc thì với mọi chỉnh hợp chập chập 2 của ta đều có . Loại này có số.
Nếu thì . Loại này có số.
Vậy có tất cả số.
Bài 4: Với các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn ?
Lời giải.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Chữ số hàng đơn vị là suy ra có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
Suy ra Số các số thu được là: số.
Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục. suy ra số các số thu được là: số.
TH2: Chữ số hàng đơn vị là 8:
Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm, sau khi chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
Suy ra số các số thu được là: số.
Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục.
Suy ra số các số thu được là: số.
Vậy tất cả có: số.
Bài 5: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ?
Lời giải
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là hoặc .
+ Trường hợp chữ số đứng cuối là : thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đó có số thuộc loại này.
+ Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số : thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số đứng đầu). Vậy số các số loại này là: .
Vậy tất cả có số.
Bài 6: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn .
Lời giải
Gọi số cần tìm là .
Vì nên hoặc .
Nếu thì
Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử .
Suy ra có số.
Nếu thì .
có hai khả năng:
+ có hai cách chọn, có 3 cách chọn trong 3 số còn lại suy ra có số.
+ ; có 2 cách chọn suy ra có 2 số.
Suy ra có số .
Vậy có tất cả: số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 7: Cho tập hợp .
Lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số từ .
Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từ .
Lời giải
Gọi số lẻ có 5 chữ số được lập từ dãy là .
Ta có 4 cách chọn (vì số được lập là số lẻ), với mỗi cách chọn lần lượt có 8 cách chọn , 9 cách chọn , 9 cách chọn và 9 cách chọn . Do đó có tổng cộng số thỏa mãn.
Gọi số chẵn có 5 chữ số được lập từ dãy là (các chữ số đôi một khác nhau).
TH1: khi đó chọn và sắp xếp có cách do vậy có số.
TH2: có 4 cách chọn, khi đó chọn có 7 cách chọn, và chọn bộ ba số và sắp xếp có tổng cộng cách. Do đó có .
Do đó có số chẵn được lập từ trên.
Bài 8: Cho tập hợp .
Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ .
Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 từ .
Lời giải
Gọi số có 4 chữ số chia hết cho 5 được lập từ có dạng .
Ta có: chọn có 5 cách chọn, có 6 cách chọn, có 6 cách chọn và có 2 cách chọn.
Khi đó có số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi số thỏa mãn yêu cầu là (các chữ số đôi một khác nhau).
Số có 4 chữ số chia hết cho 3 nên có tổng 4 chữ số là số chia hết cho 3. Mặt khác số đó là số chẵn do vậy phải có ít nhất 1 số chẵn trong 4 số. Các bộ 4 số thỏa mãn là: ; ; ; .
TH1: Xét bộ 4 số là .
Xét khi đó có số.
Xét khi đó có số.
Vậy có 10 số ở bộ này thỏa mãn.
TH2: Xét bộ số là khi đó vậy có số thỏa mãn.
TH3: Xét bộ số là cũng có 10 số thỏa mãn như TH1.
TH4: Xét bộ số là có số thỏa mãn.
Vậy tổng có số thỏa mãn.
Bài 9: Cho tập hợp . Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số từ , trong đó:
Chữ số đầu tiên là chữ số 2.
Có mặt chữ số 1 và chữ số 2, đồng thời chữ số 1 và chữ số 2 đứng cạnh nhau.
Lời giải
Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Số các số lập được theo dạng trên là: số.
Gọi số thỏa mãn là .
TH1: Số đó có dạng hoặc có số.
TH2: Số đó có dạng hoặc có số.
TH3: Số đó có dạng hoặc có số.
Vậy có số thỏa mãn ycbt.
Bài 10: Cho tập hợp .
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 6 từ .
Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ , trong đó có ít nhất 2 chữ số lẻ.
Lời giải
Số cần tìm có dạng , trong đó ; ; đôi một khác nhau và .
Ta có .
Ta cần có mà .
TH1: khi đó cần có .
+ Ta có các bộ ba thỏa mãn , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .
Có tất cả 20 bộ, mỗi bộ tạo ra số thỏa mãn nên có tất cả số thỏa mãn.
TH2:
+ Ta có bộ ba thỏa mãn là , , , , , , . Có tất cả 7 bộ, mỗi bộ tạo ra 4 số thỏa mãn nên có tất cả số thỏa mãn.
+ Ta có các bộ thỏa mãn tiếp theo là , , , ; , ,, , , , , .
Có tất cả 12 bộ, mỗi bộ tạo ra số thỏa mãn nên có tất cả số thỏa mãn.
TH3:
+ Ta có các bộ thỏa mãn là: , , , , , , . Có tất cả 7 bộ, mỗi bộ tạo ra 4 số thỏa mãn nên ta có tất cả số thỏa mãn.
+ Ta có các bộ thỏa mãn tiếp theo là: , , , , . Có tất cả 5 bộ, mỗi bộ tạo ra số thỏa mãn nên ta có tất cả số thỏa mãn.
TH4:
+ Ta có các bộ thỏa mãn là: , , , , , , , , . Có tất cả 9 bô, mỗi bộ tạo ra 4 số thỏa mãn nên ta có tất cả số thỏa mãn.
+ Ta có các bộ thỏa mãn tiếp theo là , , , , , , , , . Có tất cả 9 bộ, mỗi bộ tạo ra số thỏa mãn nên ta có tất cả số thỏa mãn.
TH5:
+ Ta có các bộ thỏa mãn , , , , , , . Có tất cả 7 bộ, mỗi bộ tạo ra 4 số thỏa mãn nên ta có tất cả số thỏa mãn.
+ Ta có các bộ thỏa mãn tiếp theo là , , , , , , , , , . Có tất cả 10 bộ, mỗi bộ tạo ra số thỏa mãn nên ta có tất cả số thỏa mãn.
Do đó có tất cả số thỏa mãn.
Vậy có số thỏa mãn.
Dạng , trong đó ,, đôi một khác nhau và chẵn.
Tập có 5 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ.
+ TH1: lẻ và chẵn.
Chọn có 4 cách
Chọn có 3 cách
Chọn có 2 cách
Chọn có 5 cách .
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
+ TH2: lẻ và chẵn.
Chọn có 4 cách
Chọn có 3 cách
Chọn có 5 cách
Chọn có 4 cách.
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
+ TH3: lẻ và chẵn.
Chọn có 4 cách
Chọn có 4 cách
Chọn có 4 cách
Chọn có 3 cách.
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
Do đó có tất cả số thỏa mãn.
Vậy có tất cả số thỏa mãn.
Bài 11: Cho tập hợp . Lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau trong đó:
Có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
Có đúng 3 chữ số chẵn và số chẵn đứng xen kẽ số lẻ.
Lời giải
Dạng , trong đó , , đôi một khác nhau và lẻ.
Tập có 5 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ.
TH1: chẵn khi đó lẻ.
+ Chọn có cách.
+ Chọn có cách.
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
TH2: chẵn khi đó lẻ.
+ Chọn có cách.
+ Chọn có cách.
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
TH3: chẵn khi đó lẻ.
+ Chọn có 4 cách
+ Chọn có 4 cách
+ Chọn có 3 cách
+ Chọn có cách.
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
Tóm lại ta có số thỏa mãn.
Vậy có tất cả số thỏa mãn.
Dạng , trong đó , , đôi một khác nhau và lẻ.
Chữ số chẵn đứng xen kẻ chữ số lẻ mà lẻ nên khi đó lẻ và chẵn.
+ Chọn có 4 cách
+ Chọn có 5 cách
+ Chọn có 4 cách
+ Chọn có 4 cách
+ Chọn có 3 cách
+ Chọn có 3 cách
Theo qui tắc nhân ta có số thỏa mãn.
Vậy có tất cả số thỏa mãn.

onthicaptoc.com Bài 1. Bài tập có đáp án chi tiết về qui tắc đếm môn toán lớp 11