Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)
03. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MP (P1)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz
Bài 1: [ĐVH]. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.
Chứng minh OO′ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
1 1
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = AE, BN = BD.
3 3
Chứng minh MN // (CDFE).
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
c) Gọi G , G là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G G // (SBC).
1 2 1 2
Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ΔABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC.
Chứng minh MG // (ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
Bài 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm
của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B, M , A thẳng hàng
và BM = M A = A N .
c) Chứng minh GA = 3GA′.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,
CD, SA.
a) Chứng minh rằng MN // (SBC), MN // (SAD)
b) Chứng minh rằng SB // (MNP), SC // (MNP)
c) Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh IJ // (SAB), IJ // (SAD), IJ // (SAC)
Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC, SC, và K là điểm trên SD cho cho SK = KD.
a) Chứng minh rằng OJ // (SAD), OJ // (SAB)
b) Chứng minh rằng OI // (SCD), IJ // (SBD)
c) Gọi M là giao điểm của AI và BD. Chứng minh rằng MK // (SBC).
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,
SO, OD
a) Chứng minh rằng MN // (ABCD), MO // (SCD)
b) Chứng minh rằng NP // (SAD), tứ giác NPOM là hình gì?
c) Gọi I là điểm thuộc SD cho cho SD = 4ID. Chứng minh rằng PI // (SBC), PI // (SAD)
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.
Chứng minh OO′ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
1 1
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = AE, BN = BD.
3 3
Chứng minh MN // (CDFE).
Lời giải:
a) Vì O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF
E
nên OO / /DF / /CE
OO / / ADF
( )
Do đó, ⇒
F
OO / / BCE
( )
b) Gọi I là trung điểm của AB
O
1 1
Từ giả thiết AM = AE, BN = BD
3 3 C
M
N
B
Suy ra M, N là trọng tâm của ABF và ABC
Do đó, theo định lý Talet ta suy ra
I
O
MN / /CF ⇒ MN / / CDEF
( )
A
D
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
c) Gọi G , G là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G G // (SAC).
1 2 1 2
Lời giải:
S
a) Vì M, N là trung điểm của AB,CD nên MN / / AD / /BC
AD ∈ SAD
 ( )

Ta có: MN / / AD ⇒ MN / / SAD
( )


P
MN ∉ SAD
( )
 E
F
BC ∈ SBC
( )

G
2
Tương tự, MN / / BC ⇒ MN / / SBC
( )

A
 B
MN ∉ SBC
( )
M
G
 1
MP / /SB

O
b) Vì P là trung điểm của SA nên

NP / /SC

C
D
N
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
MP ∈ MNP
( )

Ta có: SB / /MP ⇒ SB / / MNP
( )


SB ∉ MNP
( )

NP ∈ MNP
( )

Tương tự SC / /MP ⇒ SC / / (MNP)


SC ∉(MNP)

G G / / SAC
G G / /EM / /SA ( )

 1 2
1 2
c) Gọi E,F,O lần lượt là trung điểm của SB, SC, AC ⇒ ⇒
 
G G / /FO / /SA
G G / / SAB
( )
 1 2 
1 2

Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ΔABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC.
Chứng minh MG // (ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
Lời giải:
Gọi N là trung điểm của AD
A
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên BG = 2GN
Mà MB = 2MC nên ⇒ MG / /NC
N
NC ∈ ACD
( )
G

Ta có MG / /NC ⇒ MG / / ACD
( )


MG ∉ ACD
( ) B
D

M
C
Bài 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm
của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B, M , A thẳng hàng
và BM = M A = A N .
c) Chứng minh GA = 3GA′.
Lời giải:
a) Trong mp(ABN): Kẻ AG giao với BN ở đâu đó
A
chính là điểm A’.
b) Xét trong mp(ABN) : Lấy điểm M trên BN sao
1
cho MM / / A A⇒ M thuộc đường Mx.
1 1
M
Hơn nữa M’ và M đều là giao điểm của Mx lên
1
mp(ABN) nên M’ và M trùng nhau hay
1
G
 BM BM
= = 1 D B


M A MA
Theo Ta-let thì:
 M
A N GN
A

= = 1
N

 M A MG
BM = M A

⇔ ⇒ BM = M A = A N
C

M A = A N

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
MM BM 1

= =


A A BA 2
c) Ta có: ⇒ A A = 2MM = 4GA ⇔ AG = 3GA

GA A N 1

= =

 MM M N 2
Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,
CD, SA.
a) Chứng minh rằng MN // (SBC), MN // (SAD)
b) Chứng minh rằng SB // (MNP), SC // (MNP)
c) Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh IJ // (SAB), IJ // (SAD), IJ // (SAC)
Lời giải:
a) ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD nên MN // AD // BC nên MN //
S
(SBC) và (SAD)
b) Trong tam giác SAB có M, P lần lượt là trung
điểm của AB và SA nên MP // SB ⇒ SB // (MNP).
Dễ thấy AMCN là hình bình hành nên giao điểm O P
của chúng là trung điểm của mỗi đường.
Trong (SAC) có PO là đường trung bình nên
J
PO //SC ⇒ SC // (MNP). M
A
B
AI 2

=

I

AK 3
K
O
c) Lấy K là trung điểm của BC ⇒ ⇒

SJ 2

= D
N C

 AK 3
IJ // SA ⇒ IJ // (SAB), IJ // (SAD), IJ // (SAC)
Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
1
BC, SC, và K là điểm trên SD cho cho SK = KD.
2
a) Chứng minh rằng OJ // (SAD), OJ // (SAB)
b) Chứng minh rằng OI // (SCD), IJ // (SBD)
c) Gọi M là giao điểm của AI và BD. Chứng minh rằng MK // (SBC).
Lời giải:
a) Dễ thấy OJ là đường trung bình trong tam
S
giác SAC nên OJ // SA nên OJ // (SAD) và OJ //
(SAB)
K
b) OI là đường trung bình trong tam giác ABC
nên OI // AB ⇒ OI // CD ⇒ OI // (SCD).
Tương tự IJ là đường trung bình trong tam giác
J
SBC nên IJ // SB ⇒ IJ // (SBD).
A
D
M
O
B
C
I
MO IO 1 2 1 BM 1
c) Theo hình vẽ : = = ⇒ BM = 2MO ⇒ BM = BO = BD hay = .
BM AB 2 3 3 BD 3
1 1 SK 1
Lại có: SK = KD ⇔ SK = SD hay = .
2 2 SD 3
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên ñề : Quan hệ song song
SK BM 1
Từ đó: = = ⇒ MK // SB⇒ MK // (SBC).
SD BD 3
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,
SO, OD
a) Chứng minh rằng MN // (ABCD), MO // (SCD)
b) Chứng minh rằng NP // (SAD), tứ giác NPOM là hình gì?
c) Gọi I là điểm thuộc SD cho cho SD = 4ID. Chứng minh rằng PI // (SBC), PI // (SAD)
Lời giải:
a) Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác
S
SBO nên MN // BO ⇒ MN // (ABCD).
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác SBD
nên MO // SD ⇒ MO // (SCD).
b) NP là đường trung bình của tam giác SOD ứng
N
với cạnh SD nên NP // SD ⇒ NP // (SAD).
M
I
NPOM là hình bình hành vì MN // OP và MN = OP
1
= OB.
A
D
2
SD BD P
c) Ta có = = 4⇒IP // SB⇒IP // (SBC)
O
ID PD
B
C
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng ñến kì thi THPT Quốc gia !

onthicaptoc.com Bài 1. Bài tập có đáp án chi tiết về đường phẳng song song với mặt phẳng của thầy Đặng Việt Hùng