onthicaptoc.com 20 De thi HSG Toan 11 nam 2023 coi dap an
Bài 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi và . Chứng minh rằng .
Bài 2 (4,0 điểm). Xác định tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn
với mọi và
Bài 3 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn và các đường cao , , đồng quy tại . cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại khác . Gọi là trung điểm .
Vẽ đường kính của đường tròn , gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh và đồng quy tại một điểm .
Gọi là trung điểm , đối xứng với qua . là hình chiếu của trên . Trên lấy sao cho . Chứng minh trung trực của chia đôi .
Bài 4 (4,0 điểm). Cho là một số nguyên dương và đặt . Kí hiệu là tổng các ước nguyên dương của . Chứng minh rằng có một ước nguyên tố lớn hơn .
Bài 5 (4,0 điểm). Xét một giác đều cùng với tâm của nó. Hai người chơi trò chơi như sau: họ lần lượt chọn một đỉnh của đa giác rồi nối với một trong hai đỉnh kề hoặc nối với tâm của hình đa giác đó bởi một đoạn thẳng. Người thắng cuộc là người chơi mà sau lượt chơi của anh ta thì ở bất kỳ đỉnh nào của đa giác đều có thể di chuyển đến mọi đỉnh còn lại bằng các đoạn thẳng đã nối ở trên. Với mỗi , hãy xác định xem ai là người có chiến lược thắng cuộc.
---------HẾT--------
Câu 1(4 điểm). Cho hai dãy số xác định bởi và
a) Chứng minh rằng không bị chặn trên.
b) Đặt Tìm
Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số thoả mãn
.
Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là các đường cao ( lần lượt thuộc các cạnh ); là trực tâm của tam giác ; lần lượt là trung điểm các cạnh . Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác và là tâm của đường tròn .
a) Chứng minh rằng các điểm thuộc đường tròn .
b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng và là một hằng số.
Câu 4 (4 điểm). Cho và là các số nguyên dương, . Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của đều có dạng với k là số nguyên dương.
Câu 5 (4 điểm). Với là số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước được chia thành các ô vuông. Một cách tô các ô vuông màu đen được gọi là “đẹp” nếu số lượng ô đen mỗi hàng và mỗi cột bất kì luôn là số chẵn; đồng thời, số các ô màu đen trên đường chéo có độ dài lớn hơn bất kì là số lẻ (đường chéo ở đây là dãy các ô liên tiếp nằm trên đường thẳng song song với một trong hai đường chéo của bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo là số lượng ô nằm trên đó).
a) Chứng minh rằng tồn tại một cách tô “đẹp” khi .
Bài 1 (4,0 điểm). cho dãy số xác định bởi và . chứng minh rằng .