onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn
b) Cho là các số thực khác không thỏa mãn
Chứng minh rằng
Câu 2. (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
b) Giải phương trình
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số thực để là số nguyên.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 thì không phải là số nguyên tố.
Câu 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn đường kính cố định, là một điểm chạy trên đường tròn không trùng với và Các tiếp tuyến của đường tròn tại và cắt nhau tại điểm Đường thẳng cắt tại và cắt đường tròn tại ( khác ).
a) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác
b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng Hai đường thẳng và cắt nhau tại Tính tỷ số khi tổng diện tích hai tam giác và lớn nhất.
c) Chứng minh rằng
Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực thỏa mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 6. (0,5 điểm) Cho là các số chính phương. Chứng minh rằng luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.
------HẾT------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh: ..................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
NĂM HỌC 2023 – 2024
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Chú ý: - Thí sinh giải theo cách khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài không qui tròn.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1a
1,0 đ
Ta có
0,25
0,25
TH1: .
0,25
TH2:
Vậy có đúng một cặp số thỏa mãn (x; y) = (-1; -1).
0,25
Câu 1b
1,0 đ
0,25
Ta có :
Tương tự có :
0,5
0,25
Câu 2a
1,5 đ
ĐK:
0,25
Thế vào phương trình (2) ta có:
0,25
0,25
0,25

(Do )
0,25
Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
và
0,25
Câu 2b
1,0 đ
ĐK:
0,25
Xét (không phải là nghiệm)
Xét Chia hai vế phương trình cho ta được: Đặt ta được phương trình:
0,25
0,25
Khi ta được phương trình:
Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm
Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách: Đặt
0,25
Câu 3a
1,0 đ
Ta có
0,25
0,25
TH1:
0,25
TH2:
Vậy có hai giá trị cần tìm là
0,25
Câu 3b
0,5 đ
Ta có
Ta có
chia hết cho
0,25
Lại có
chia hết cho
Vậy chia hết cho với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 nên không phải là số nguyên tố.
0,25
Câu 4a
1,0 đ
a) Ta có do vuông tại A có đường cao AE.
0,25
Lại có do vuông tại A có đường cao AH.
0,25
0,25
0,25
Câu 4b
0,75 đ
b) Ta có suy ra đường thẳng là trung trực đoạn thẳng nên . Kéo dài cắt tại nên trung điểm
Ta có và
Suy ra trung điểm của đoạn thẳng .
0,25
Do đoạn thẳng không đổi nên tổng diện tích hai tam giác và lớn nhất. lớn nhất khi điểm chính giữa hay trùng tâm
0,25
Khi đó tứ giác là hình vuông.
Lại có
0,25
Câu 4c
0,75 đ

c) Ta có

0,25
Mặt khác
Từ (1) và (2)
0,25
(ĐPCM).
0,25
Câu 5
1,0 đ
Ta sử dụng các bất đẳng thức với
Dấu bằng xảy ra khi
0,25
Lại có:
0,25
0,25
Giá trị nhỏ nhất của P bằng khi
0,25
Câu 6
0,5 đ
Vì là các số chính phương ta viết thành
Ta có:

0,25
Áp dụng các đẳng thức và có:
Thứ 1:

Thứ 2:

Vậy là tổng của hai số chính phương.
0,25
HẾT.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Ha Tinh 23 24