onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH YÊN BÁI
ĐỀ 1
KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: Toán Chuyên
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 02/6/2023
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức .
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất cả các giá trị của để .
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của tham số để cắt tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ thỏa mãn .
2. Giải phương trình .
3. Giải hệ phương trình .
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm , các đường cao (). Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại , cắt tại khác , cắt tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng cân, tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh rằng .
d) Gọi là giao điểm của và đường tròn . Chứng minh rằng thẳng hàng.
Câu 4. (1,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2. Cho hai số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng là số chính phương.
Câu 5. (1,0 điểm)
1. Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2. Cho một đa giác đều có 23 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác được tô cùng màu và tạo thành một tam giác cân.
_________ Hết _________
Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ............................................................................. Số báo danh: ………….
Cán bộ coi thi thứ nhất: ………………………………………… Kí tên: ………………...
Cán bộ coi thi thứ hai: ..………………………………………… Kí tên: ………………...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH YÊN BÁI
HDC ĐỀ 1
KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: Toán (Chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 02/6/2023
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1
Cho biểu thức .
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất cả các giá trị của để .
1,5
a) ĐKXĐ:
0,25
0,25
0,25
. Vậy với và .
0,25
b)
0,25
Vậy với thì .
0,25
2
1. Trong mặt phẳng tọa độ , Cho parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cắt tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ thỏa mãn .
2. Giải phương trình
3. Giải hệ phương trình .
3,0
2.1
1. Trong mặt phẳng tọa độ , Cho parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cắt tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ thỏa mãn .
1,0
Xét phương trình hoành độ giao điểm .
Ta có . Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .
Theo định lý Vi-et ta được
Từ giả thiết và ta được
Thay vào (2) ta có (thoả mãn), (không thoả mãn).
2.2
2. Giải phương trình
1,0
Ta có
Vậy nghiệm của phương trình là
2.3
3. Giải hệ phương trình .
1,0
Ta có
Đặt và . Hệ phương trình trở thành
Suy ra là hai nghiệm của phương trình
Ta được (I) hoặc (II)
Giải (I)
Ta có:
Giải (II)
Ta có:
Vậy các nghiệm của hệ là .
3
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm . Các đường cao cắt nhau tại . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại , cắt tại (khác ), cắt tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng cân, tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh rằng .
d) Gọi là giao điểm của và đường tròn . Chứng minh rằng thẳng hàng.
3,5
3a
Ta có nên tứ giác nội tiếp suy ra (góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong không kề với nó).
0,25
Lại có sđ nên sđ.
0,25
Theo giả thiết là tiếp tuyến nên sđ.
Từ đó suy ra . Hai góc này ở vị trí so le trong nên .
0,25
3b
Theo giả thiết nên tứ giác nội tiếp suy ra (góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong không kề với nó).
0,25
Theo chứng minh trên
(đối đỉnh).
Từ đó ta có nên cân tại .
0,25
Theo chứng minh trên
(đối đỉnh).
Từ đó ta có nên cân tại .
0,25
Theo chứng minh trên suy ra nên tứ giác nội tiếp.
0,25
3c
Ta thấy tứ giác nội tiếp nên .
Vì tứ giác nội tiếp nên
0,25
(cùng chắn cung của ). Suy ra nên tứ giác nội tiếp.
0,25
Ta có
Mặt khác là tiếp tuyến của nên .
Từ đó ta có .
0,25
3d
Ta có suy ra là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên
0,25
Lại có (vì nội tiếp)
0,25
.
Từ đó suy ra nên thẳng hàng.
0,5
4
1. Giải phương trình nghiệm nguyên:
2. Cho hai số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng là số chính phương.
1,0
1. Giải phương trình nghiệm nguyên:
0,5
Ta có
0,25
* (không thoả mãn)
* (nhận)
*(nhận)
* (không thoả mãn)
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là .
0,25
4.2
2. Cho hai số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng là số chính phương.
0,5
Ta có
Gọi với
Suy ra
0,25
Vì mà nên
Do đó Từ (*) ta được và là số chính phương. Vậy là số chính phương.
0,25
5.1
1. Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
0,5
* Ta có
0,25
Áp dụng BĐT quen thuộc
Vậy .
0,25
5.2
2. Cho một đa giác đều có 23 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn chọn ra được ba đỉnh của đa giác được tô cùng màu và tạo thành một tam giác cân.
0,5
Ta có đa giác có 23 đỉnh, do đó phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là và được tô cùng màu (Theo nguyên lý Đirichlet), giả sử và cùng được tô màu xanh.
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng . Giả sử đỉnh đó là .
0,25
Nếu tô màu xanh thì ta có tam giác là tam giác cân có ba đỉnh được tô cùng màu
Nếu tô màu đỏ, lúc đó gọi và là các đỉnh khác nhau của đa giác kề với và .
Nếu cả hai đỉnh và được tô màu đỏ thì tam giác cân và có ba đỉnh cùng màu đỏ
Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh và được tô màu xanh thì tam giác hoặc tam giác là tam giác cân có ba đỉnh cùng màu xanh.
Vậy trong mọi trường hợp luôn chọn ra được ba đỉnh của đa giác được đánh dấu giống nhau và tạo thành một tam giác cân.
0,25
Lưu ý.
- HDC chỉ mang tính chất tham khảo. Nếu thí sinh có lời giải đúng nhưng khác HDC, giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
- Câu 3 có nhiều ý liên quan tới nhau. Trường hợp thí sinh chưa chứng minh được ý trước nhưng lại dùng kết quả ý trước để chứng minh ý sau, nếu lời giải đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
- Câu 3 nếu thí sinh có lời giải đúng nhưng hình vẽ sai thì giám khảo cho tối đa 50% số điểm.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Yen Bai 23 24