onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
Đề chính thức
(Đề gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (6,0 điểm).
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình .
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Tìm sao cho và đều là các số nguyên.
b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho là số lập phương và là số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho các số thực thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4 (7,0 điểm).
Cho tam giác vuông tại nội tiếp đường tròn tâm . Trên đường tròn lấy điểm khác phía so với đường thẳng . Qua kẻ đường thẳng song song với . Đường thẳng cắt đường thẳng tại , cắt đường tròn tại ( khác ).
a) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng .
c) Trên tia lấy điểm sao cho . Đường thẳng cắt đường thẳng tại , đường thẳng cắt tại ( khác ). Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Đường thẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại
Chứng minh rằng .
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho một đa giác lồi có diện tích bằng . Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được trong đa giác đó một tam giác có diện tích không nhỏ hơn .
- HẾT -
Họ và tên thí sinh: ......................................................................... Số báo danh: ........................
ĐÁP ÁN
Câu 1 a) Giải phương trình .
Phương trình đã cho tương đương


Trường hợp 1.
Trường hợp 2. (phương trình vô nghiệm).
Vậy nghiệm của phương trình là
Câu 1b) Giải hệ phương trình
Đặt Phương trình trở thành
.
Trường hợp 1.
Thay vào không thỏa mãn.
Trường hợp 2. Thay vào ta được phương trình
Đặt . Phương trình trở thành .
Với
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Câu 2a. Tìm sao cho và đều là các số nguyên.
Đặt ; với

và
. Thử lại ta có giá trị của cần tìm là .
Câu 2b. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho là số lập phương và là số chính phương.
Vì là số lập phương nên ()
Vì là số chính phương nên ()
(2)
(1), (2) .
Vì nhỏ nhất và là số chính phương nên (thỏa mãn).
Vậy .
Câu 3.Cho các số thực thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Kết hợp suy ra
+) Vì nên
.
Cho tam giác vuông tại nội tiếp đường tròn tâm . Trên đường tròn lấy điểm khác phía so với đường thẳng . Qua kẻ đường thẳng song song với . Đường thẳng cắt đường thẳng tại , cắt đường tròn tại ( khác ).
a) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng .
c) Trên tia lấy điểm sao cho . Đường thẳng cắt đường thẳng tại , đường thẳng cắt tại ( khác ). Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Đường thẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại
Chứng minh rằng .

a) Vì là tứ giác nội tiếp nên
(1)
Tam giác cân nên (2)
Vì nên (3)
(1), (2), (3) suy ra
là tứ giác nội tiếp
cùng thuộc một đường tròn.
b) Vì nên
(g-g) (*)
Lấy là trung điểm của . Kết hợp là trung điểm và (*) suy ra
là tứ giác nội tiếp.
Kết hợp ()
nên là tiếp tuyến của .
Suy ra .
c) Ta có (4)
Tam giác cân tại nên
(5)
(6)
(5), (6) cân tại
(7)
Mà suy ra là tứ giác nội tiếp (8)
(7), (8) (9)
Từ (4), (9) suy ra
Suy ra
Cho một đa giác lồi có diện tích bằng . Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được trong đa giác đó một tam giác có diện tích không nhỏ hơn .
Vẽ đường thẳng chứa cạnh của đa giác. Gọi là đỉnh của đa giác mà khoảng cách từ nó đến lớn nhất.
Qua vẽ đường thẳng song song với .
Vẽ ,, là các đường thẳng song song với sao cho cách đều và ; cách đều và ; cách đều và .
Gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Đường thẳng cắt biên của đa giác tại và . Kéo dài hai cạnh của đa giác chứa và cắt 2 đường thẳng và tạo thành hình thang hoặc tam giác có diện tích .
Đường thẳng cắt biên của đa giác tại . Kéo dài hai cạnh của đa giác chứa cắt hai đường thẳng và tạo thành hình thang có diện tích .
Ta có hai hình nói trên bao toàn bộ đa giác
.
Ta có
Vì nên một trong hai tam giác hoặc có diện tích lớn hơn hoặc bằng .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Nghe An 23 24