onthicaptoc.com
ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho tứ diện , có đôi một vuông góc và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi là trọng tâm của tam giác . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có , sao cho
.
Khi đó: là trọng tâm tam giác nên
là trung điểm nên
là trung điểm nên .
Phương trình mặt phẳng là: hay
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng là:
.
Câu 2. Cho hình chóp đáy là hình thang vuông tại và , . Góc giữa và mặt phẳng đáy bằng , là trung điểm của , , . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu của trên mặt phẳng là Góc giữa và mặt đáy là góc giữa và và bằng góc .
Tam giác vuông cân tại .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: , , , , , .
,
mặt phẳng có véctơ pháp tuyến .
Vậy .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình chóp , đáy là hình chữ nhật. Biết ,,,. Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Tứ giác là hình chữ nhật nên .
là trung điểm của .
Viết phương trình mặt phẳng :
, .
có một véc tơ pháp tuyến .
Suy ra có phương trình: .
Vậy .
Câu 4. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ.
Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở và với độ dài , , . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng. Giá trị của là số nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , tia ; tia .
Khi đó, ; ; ;.
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng ta có các điểm mới ; ;.
Theo bài ra có bốn điểm ; ; ; đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng .
Do nên có: .
Vậy .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 5. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài , chiều rộng và tọa độ điểm .
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
a) Lập phương trình mặt phẳng .
Gắn hình chóp cụt vào hệ trục , ta có:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:
Kkhoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Câu 6. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lợt là .
a) Hỏi ba cột bê tông và có được xây thẳng hàng không?
b) Bốn điểm và có đồng phẳng không?
c) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Câu 7. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: , ,.
a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
b) Tính khoảng giữa hai bức tường và của tòa nhà.
Lời giải
a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
. có vectơ pháp tuyến là
Ta có nên hai bức tường và song song nhau
nên bức tường vuông góc với hai bức tường và ,
b) Tính khoảng giữa hai bức tường và của tòa nhà.
Chọn điểm
Do hai bức tường và song song nhau nên:
Câu 8. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: , ,,.
a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
b) Tính khoảng giữa hai bức tường và của tòa nhà.
c) Tính chiều rộng bức tường của tòa nhà.
Lời giải
a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
Ta có:
nên hai bức tường và song song nhau
nên hai bức tường và song song nhau
nên bức tường vuông góc với hai bức tường và
nên bức tường vuông góc với hai bức tường và
b) Tính khoảng giữa hai bức tường và của tòa nhà.
Chọn điểm
Do hai bức tường và song song nhau nên:
c) Tính chiều rộng bức tường của tòa nhà.
Do hai bức tường và song song nhau nên chiều rộng bức tường là khoảng cách giữa hai bức tường và .
Chọn điểm
Do hai bức tường và song song nhau nên:
Câu 9. Cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, xác định tọa độ các điểm .
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng .
Lời giải
Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, gốc .
Khi đó:, , , .
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng .
Câu 10. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chọn hệ tọa độ như hình vẽ dưới.
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Gọi là trung điểm . Tính khoảng giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng .
Lời giải
.
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Gọi là trung điểm . Tính khoảng giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng .
Câu 11. Cho tứ diện , có đôi một vuông góc và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác và . Chọn hệ tọa độ như hình vẽ dưới.
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có , sao cho
.
Khi đó: là trọng tâm tam giác nên
là trung điểm nên
là trung điểm nên .
là trọng tâm tam giác nên
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 12. Cho hình chóp đáy là hình thang vuông tại và , . Góc giữa và mặt phẳng đáy bằng , là trung điểm của , , . Gọi là trọng tâm của tam giác . Chọn hệ tọa độ như hình vẽ dưới.
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Hình chiếu của trên mặt phẳng là Góc giữa và mặt đáy là góc giữa và và bằng góc .
Tam giác vuông cân tại .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: , , , , , .
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm , , , . Gọi là chân đường cao vẽ từ của tứ diện . Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , .
Lời giải
phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , là
Phương trình Mặt phẳng .
là chân đường cao vẽ từ của tứ diện nên là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
Mặt phẳng .
Phương trình Mặt phẳng .
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình chóp , đáy là hình chữ nhật. Biết ,,,. Gọi là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác .
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : ,,,.
là trung điểm của .
Tứ giác là hình chữ nhật nên .
là trọng tâm của tam giác
a) Lập phương trình mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước . Gọi là trọng tâm của tam giác .
a) Tính độ dài cạnh .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Có ,
là trọng tâm của tam giác
a) Tính độ dài cạnh .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng .
Câu 16. Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là trọng tâm của tam giác .
a) Tính độ dài cạnh .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Vì tứ diện có đôi một vuông góc với nhau, nên ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (với là gốc tọa độ, đường thằng nằm trên trục , nằm trên trục và nằm trên trục ).
Từ đó suy ra: , vì , vì , vì .
Vì là trung điểm của nên .
là trọng tâm của tam giác
a) Tính độ dài cạnh .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 17. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của và và là trọng tâm của tam giác .
a) Tính tọa độ điểm .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn: (như minh họa hình vẽ),
suy ra và.
a) Tính tọa độ điểm . .
là trọng tâm của tam giác
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
c) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 18. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , và vuông góc với đáy . Gọi là trọng tâm của tam giác .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, ta có:
, , , , .
là trọng tâm của tam giác
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , có độ dài đường chéo bằng và vuông góc với mặt phẳng . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và và .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới.
Hình vuông có độ dài đường chéo bằng suy ra hình vuông đó có cạnh bằng .
Ta có .
Ta có .
Ta có , , ,
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu 20. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trọng tâm của tam giác và lần lượt là trung điểm của .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó
; ; ;;
suy ra ; ;
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Ung dung phuong trinh mat phang de giai cac bai toan hinh hoc