onthicaptoc.com
Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai :
Tóm tắt lý thuyết
A/ Giải và biện luận: Phương trình
* : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.
* : Đặt
+ pt(2) vô nghiệm.
+ : pt(2) có nghiệm kép .
+ : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt ;
Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình.
B/ Hệ thức Vi-et
* Hai số là hai nghiệm của phương trình khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: .
* Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
* Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
( Điều kiện tồn tại hai số trên là )
* Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức có hai nghiệm thì nó có thể phân tích thành nhân tử
* Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai:
+
+
+
C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình:
Cho phương trình . Đặt trong đó là 2 nghiệm của phương trình (2)
1/ Pt(2) vô nghiệm 2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm
3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt 4/Pt(2) có VSN
5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu
6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương
7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm
8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương
9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm
10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương
11/Pt(2) có nghiệm kép
12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm
Các dạng bài tập áp dụng:
I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2:
Phương pháp:
* Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình).
* Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai.
* Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải
Điều kiện:
Nghiệm phương trình
Bài tập: Giải các phương trình
1/
2/
II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình:
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình
Giải
*
*
+ : Phương trình vô nghiệm.
+ : Phương trình có nghiệm kép .
+ : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Kết luận:
+ m < 1: Phương trình vô nghiệm
+ m = 1: phương trình có nghiệm x = -2
+ m = 2: phương trình có nghiệm
+ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài tập áp dụng:
1/
2/
3/
4/
III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm:
Phương pháp: tính nếu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện
Giải
a) Ta có

b) Theo vi ét ta có

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 2:Cho phöông trình baäc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0
a)Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät
b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm laø 2, tìm nghieäm coøn laïi
c) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm x1 vaø x2 thoaû maõn
Bài tập 3: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc nghieäm cuûa phöông trình
a) Thoaû maõn
b) Thoaû maõn
Bài tập 4: Cho phöông trình
a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät
b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thoaû maõn
c) Chöùng toû raèng A = ñoäc laäp vôùi m
Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0
a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để
c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
giải
HD: c) (1)

Lấy (1) chia cho (2) ta có:
II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép
Phương pháp tính rồi xét = 0 thì phương trình có nghiệm kép
Ví dụ 1:Tìm m để phương trình có nghiệm kép tìm n kép đó
Giải
Phương trình có nghiệm kép khi
Nghiệm kép đó là
Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó

IV/ Dạng : Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung
Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau và có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó
Giải
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có và
Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0
a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x +1 = 0
Phương trình này vô nghiệm do
Vậy do đó x0 = 1
Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2
-Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 1
Phương trình x2 +x – 2 = 0 có nghiệm x3 = 1; x4 = -2
Vậy nghiệm chung x0 = 1
Bài tập 1: với giá trị nào của m thì hai phương trình sau
và có ít nhất một nghiệm chung tìm nhiệm chung đó.
Bài tập 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
và
V/ Dạng : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện.
Ví dụ: Định m để phương trình có 2 nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm đó.
Giải: phương trình đã cho có nghiệm kép
Với
Với
Vậy m = 0 thì nghiệm x = -1
m = 4 thì nghiệm x = 3
Bài tập 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
1/
2/
3/
Bài tập 2: Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với mọi m thuộc R
1/
2/
3/
4/
Bài tập 3: Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm với mọi m thuộc R
1/
2/
3/
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com dieu kien de phuong trinh bac hai co nghiem