onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2023 – 2024
Môn thi: Toán chuyên
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức với
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với
Câu 2 (3,0 điểm)
1. Cho phương trình (1), với là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi
b) Tìm để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn
2. Giải hệ phương trình
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác tù có nội tiếp đường tròn Tiếp tuyến tại của cắt đường thẳng tại Lấy điểm thuộc miền trong tam giác sao cho Đường thẳng cắt tại hai điểm ở giữa và Các đường thẳng cắt lại lần lượt tại Chứng minh rằng:
a) Tam giác đồng dạng với tam giác
b)
c) Tứ giác là hình thang cân.
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên để là một số nguyên tố.
Câu 5 (1,0 điểm). Ban đầu, trên bảng có số nguyên dương đầu tiên được viết liên tiếp từ trái qua phải: Ta thực hiện trò chơi đổi số như sau: Mỗi lượt chơi, lấy ba số đứng liền nhau và đổi chỗ với thành Hỏi sau hữu hạn lượt chơi như trên ta có thể thu được dãy số ngược lại hay không, nếu:
a) b)
-----HẾT-----
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………….………………Số báo danh:………………..
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2023-2024
Môn: Toán chuyên
(Hướng dẫn này có 04 trang)
----------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức với
Hướng dẫn chấm
Điểm
Ta có
0,25

0,25

0,25

0,25
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với
Hướng dẫn chấm
Điểm
Ta có
0,25

0,25
Với thì Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM (Côsi) ta được
0,25
chẳng hạn khi Vậy
0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
1. Cho phương trình (1), với là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn
Hướng dẫn chấm
Điểm
a) Với ta có phương trình
0,25
Đặt ta được (*).
0,25
Giải phương trình (*) ta được (loại) và (thỏa mãn).
0,25
Với ta được Vậy phương trình hai nghiệm
0,25
b) Đặt , ta được phương trình (**).
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt
0,25
Điều này tương đương với (a).
0,25
Theo bài ra (b).
0,25
Theo Viet thì (loại) và (thỏa mãn).
Vậy là giá trị duy nhất cần tìm.
0,25
2. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn chấm
Điểm
Điều kiện xác định: (*). Ta có
0,25

0,25
Với thay vào phương trình ta được
0,25
Với thay vào phương trình ta được vô nghiệm.
0,25
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
0,25
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác tù có nội tiếp đường tròn Tiếp tuyến tại của cắt đường thẳng tại Lấy điểm thuộc miền trong tam giác sao cho Đường thẳng cắt tại hai điểm ở giữa và Các đường thẳng cắt lại lần lượt tại Chứng minh rằng:
a) Tam giác đồng dạng với tam giác
b)
c) Tứ giác là hình thang cân.
Hướng dẫn chấm
Điểm
a) Ta có (a).
0,25
Mặt khác (b).
0,25
Từ (a) và (b) suy ra (1).
0,25
Từ (1) và suy ra hai tam giác và đồng dạng.
0,25
b) Từ a) suy ra (c).
0,25
Vì nên (d).
0,25
Từ (d) và suy ra
0,25
Do đó
0,25
c) Ta có và (e).
0,25
Vì nên Kết hợp với (e) suy ra (f).
0,25
Từ (f) suy ra
0,25
Do đó là hình thang. Hơn nữa là hình thang cân.
0,25
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên
Hướng dẫn chấm
Điểm
Ta có
0,25
Suy ra
0,25
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên để là một số nguyên tố.
Hướng dẫn chấm
Điểm
Nếu thì do đó
Ta có Do đó
0,25
Từ suy ra
Vậy cặp số cần tìm là , .
0,25
Câu 5 (1,0 điểm). Ban đầu, trên bảng có số nguyên dương đầu tiên được viết liên tiếp từ trái qua phải: Ta thực hiện trò chơi đổi số như sau: Mỗi lượt chơi, lấy ba số đứng liền nhau và đổi chỗ với thành Hỏi sau hữu hạn lượt chơi như trên ta có thể thu được dãy số ngược lại hay không, nếu:
a) b)
Hướng dẫn chấm
Điểm
a) Với ta thực hiện các bước biến đổi như sau:
0,5
b) Với Ta thấy rằng với cách đổi như trên thì các số lẻ luôn ở vị trí lẻ còn số chẵn luôn ở vị trí chẵn.
0,25
Ban đầu số 2024 ở vị trí chẵn, do đó nó không thể chuyển về vị trí đầu tiên trong dãy số 2024, 2023,…, 2, 1 được.
0,25
-----Hết-----
Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài theo cách khác thì vẫn cho điểm theo các phần đúng tương ứng.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Tuyen Quang 23 24 hay