onthicaptoc.com
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm). Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức:
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số sao cho phương trình
có nghiệm nguyên.
Câu 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng không phải là số chính phương với mọi số tự nhiên
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tập hợp gồm có 18 số tự nhiên khác nhau bất kỳ.
a. Lấy ra 5 phần tử bất kỳ của tập hợp Chứng minh rằng trong 5 phần tử lấy ra đó luôn tồn tại 3 phần tử có tổng chia hết cho 3.
b. Chứng minh rằng luôn tồn tại 9 phần tử của tập hợp có tổng chia hết cho 9.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác vuông tại có đường cao Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Kẻ vuông góc với đường thẳng Chứng minh rằng:
a.
b. Tam giác vuông tại
Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Kẻ vuông góc với tại điểm vuông góc với tại điểm Các đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm Tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm cắt đường thẳng lần lượt tại các điểm Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm Chứng minh rằng:
a. Tam giác là tam giác cân;
b. Các điểm thẳng hàng.
------ HẾT ------
Họ và tên thí sinh:……………..……..….………................Số báo danh:……..….…..……
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
HƯỚNG DẪN CHẤM
( Bản hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
- Giám khảo cần nắm vững yêu cầu của hướng dẫn chấm để đánh giá đúng bài làm của thí sinh. Thí sinh làm cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Khi vận dụng đáp án và thang điểm, giám khảo cần chủ động, linh hoạt với tinh thần trân trọng bài làm của học sinh.
- Nếu có việc chi tiết hóa điểm các ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm và được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi trong đề thi, chấm điểm lẻ đến 0,25 và không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 2
Ta có:
Vì nên để phương trình có nghiệm nguyên thì có thể xảy ra các trường hợp sau:
0,25
Trường hợp 1:
Vậy không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.25
Trường hợp 3:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 4:
Trường hợp này, không có giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.25
Tóm lại là tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
0.25
Câu 3
Ta có nhận xét sau: Một số chính phương sẽ có dạng hoặc với
0.25
Vì chia cho 4 dư 1 nên chia cho 4 dư 1 (với mọi số tự nhiên ).
chia hết cho 4 (với mọi số tự nhiên ).
5 chia cho 4 dư 1.
0.25
Vì là số chính phương nên xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: chia hết cho 4.
Khi đó, chia cho 4 dư 2.
Theo nhận xét trên thì không phải là số chính phương.
0.25
Trường hợp 2: chia cho 4 dư 1.
Khi đó, chia cho 4 dư 3.
Theo nhận xét trên thì không phải là số chính phương.
Tóm lại không phải là số chính phương với mọi số tự nhiên
0.25
Câu 4
a. Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 3 sẽ có số dư là một trong các số: 0; 1; 2.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 5 phần tử bất kỳ của tập hợp khi chia cho 3 sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư. Khi đó, có thể xảy ra các trường hợp sau:
0.5
Trường hợp 1: Có 2 số chia cho 3 có cùng số dư 2 số chia cho 3 có cùng số dư và 1 số chia cho 3 có số dư Trong đó là 3 số đôi một khác nhau và .
Khi đó, chọn ra 3 số gồm: 1 số chia cho 3 có số dư 1 số chia cho 3 có số dư và 1 số chia cho 3 có số dư Tổng của 3 số đó chia hết cho 3.
0.25
Trường hợp 2: Có ít nhất 3 số khi chia cho 3 có cùng số dư.
Khi đó, luôn lấy ra được 3 số mà khi chia cho 3 có cùng số dư. Tổng của 3 số đó chia hết cho 3.
0.25
b. Chia tập hợp thành 3 tập hợp con là: Tập hợp có 5 phần tử, có 5 phần tử, có 8 phần tử ( đôi một không có phần tử chung).
0.25
Theo ý a, ta có:
Trong ta lấy ra được 3 phần tử có tổng chia hết cho 3. Kí hiệu là
Trong ta lấy ra được 3 phần tử có tổng chia hết cho 3. Kí hiệu là
Trong ta lấy ra được 3 phần tử có tổng chia hết cho 3. Kí hiệu là
0.25
Số phần tử còn lại của các tập hợp là: 9 phần tử.
Trong 9 phần tử đó, ta lấy ra được 3 phần tử có tổng chia hết cho 3.
Kí hiệu là
Trong 6 phần tử còn lại, ta lấy ra được 3 phần tử có tổng chia hết cho 3.
Kí hiệu là
0.25
Giả sử ; ; ;
; với
Trong 5 số tự nhiên (có thể có các số bằng nhau) ta lấy được 3 số có tổng chia hết cho 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử 3 số đó là
Ta có:
Khi đó chia hết cho 9 (điều phải chứng minh).
0.25
Câu 5
a. Chứng minh
Ta có suy ra
0.25
Áp dụng Định lý Ta-lét ta có: (1)
0.25
Theo giả thiết (2)
Từ (1), (2) suy ra
0.25
Mặt khác do đó
0.25
b. Chứng minh tam giác vuông tại
Vì nên tam giác đồng dạng với tam giác (g.g) suy ra .
0.25
Vì nên tam giác đồng dạng với tam giác
0.25
Suy ra
Suy ra tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
0.25
Ta có .
Mặt khác nên .
0.25
Câu 6
a. Ta có sđ (1)
0.5
Vì nên tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
Suy ra (2)
0.25
Từ (1) và (2) suy ra , từ đó ta có tam giác cân tại
0.25
b. Do tam giác cân tại nên
Vì nên tam giác đồng dạng với tam giác
Suy ra
0.25
Vì nên tam giác đồng dạng với tam giác
Suy ra
0.25
Suy ra
Do đó
Suy ra tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
Do đó là một giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với đường tròn (3)
0.25
Giả sử cắt đường tròn tại
Chứng minh tương tự, ta suy ra được tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
Suy ra là một giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với đường tròn (4)
Từ (3) và (4) suy ra hay thẳng hàng.
0.25
ĐIỂM TOÀN BÀI
10,0
---- Hết---
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Tin Thai Nguyen23 24