onthicaptoc.com
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT, NĂM 2023 TỈNH BÌNH THUẬN
MÔN: TOÁN (chuyên Tin)
Bài 1. (2,0 điểm) Cho parabol và đường thẳng ( là tham số)
a) Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
b) Gọi là hoành độ giao điểm của và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải.
a) Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
Phương trình hoành độ giao điểm: (1). Do nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi , do đó luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
b) Gọi là hoành độ giao điểm của và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
*Theo định lí Viet ta có: .
*
Suy ra , do đó giá trị lớn nhất của bằng khi .
Nhận xét: Ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của như sau: , do đó giá trị nhỏ nhất của bằng khi .
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình: .
Lời giải
a) Giải phương trình .
*Điều kiện: , với điều kiện đó, phương trình viết lại
*Đặt , với , phương trình trở thành: .
* Với .
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
b) Giải hệ phương trình: .
Ta có: .
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .
Cách 2:
Ta có: . Suy ra là hai nghiệm của phương trình , vậy hệ phương trình có hai nghiệm là và .
Bài 3. (2,0 điểm)
a) Cho hai biểu thức và .
Với những giá trị nào của thì ?
b) Tìm các số nguyên dương để đồng thời là các số chính phương biết và
Lời giải
a) Cho hai biểu thức và .
Với những giá trị nào của thì ?
*Với ta có
*Ta có . Dấu đẳng thức xảy khi
, do đó thì chỉ xảy ra khi .
b) Tìm các số nguyên dương để đồng thời là các số chính phương biết và
* Với thì , do đó tồn tại để là số chính phương.
* Với
, thay vào
Vì là số chính phương nên *Phương trình (*) ẩn có
Để A là số chính phương thì là số chính phương, suy ra
. Do nên ta có
.
*Với (loại)
Với
Vậy chỉ có một cặp số thỏa mãn bài toán.
Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn đường kính và là một điểm nằm trên đoạn thẳng ( không trùng với hai điểm và ). Qua vẽ đường thẳng vuông góc với , cắt đường tròn tại và . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , là chân đường vuông góc kẻ từ đến .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua trung điểm của khi điểm di động trên đoạn thẳng .
Lời giải
a) Chứng minh .
*Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) , mặt khác nên tứ giác nội tiếp, suy ra (đpcm)
b) Chứng minh .
* Ta có vuông tại A, nên: .
* Mà
Suy ra (đpcm)
c) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua trung điểm của khi điểm di động trên đoạn thẳng .
* (đối đỉnh), mà ( tứ giác nội tiếp)
suy ra
* Do tứ giác nội tiếp nên ta có (2)
Tam giác cân tại (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra , mà . Vậy là tiếp tuyến của .
* Ta có (tính chất tiếp tuyến) và .
Trong tam giác vuông , ta có (cùng phụ với 2 góc bằng nhau) nên cân tại
*Mặt khác ; , suy ra .
Mà nên suy ra , do đó là trung điểm đoạn thẳng .
Bài 5. (1,0 điểm) Cho bàn cờ vua có ô vuông như hình vẽ. Trong mỗi ô vuông của bàn cờ ghi ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn đồng thời hai số được ghi trong hai ô vuông có chung cạnh hoặc chung đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trên bàn cờ tồn tại một số xuất hiện ít nhất lần.
Lời giải
* Bàn cờ vua có kích thước ;
*Xét hình vuông kích thước (gồm bốn hình vuông nhỏ kích thước ), trong hình vuông này, mỗi hình vuông luôn có chung cạnh hoặc chung đỉnh với ba hình vuông còn lại, nên trong 4 số nguyên dương được viết trong bốn hình vuông nhỏ này chỉ có nhiều nhất một số chẵn (vì nếu có 2 số chẵn sẽ mâu thuẫn với giả thiết nguyên tố cùng nhau) và cũng có nhiều nhất một số chia hết cho 3. Do đó trong bốn hình vuông này chắc chắn có ít nhất hai số lẻ không chia hết cho 3,
* Bàn cờ vua có kích thước có hình vuông không giao nhau, nên có ít nhất số lẻ không chia hết cho 3.
*Trong 9 số nguyên dương nhỏ hơn 10 chỉ có 3 số lẻ không chia hết cho 3 là nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại một trong ba số xuất hiện ít nhất lần.
----HẾT---
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen tin BinhThuan 2324