onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN TOÁN CHUYÊN
Thời gian : 150 phút
ĐỀ BÀI
Câu 1:
a) Cho các số thực x,y khác 0, thoả mãn: và .
Chứng minh
b) Cho đa thức bậc 3 thoả mãn khi chia cho đều được số dư là 6 và
. Tìm đa thức
c) Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: = 8; . Tính giá trị biểu thức: P =
Câu 2:
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O1 đường kính AB và đường tròn tâm O2 đường kính AC. Gọi H là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại các điểm D, E không trùng với A sao cho A nằm giữa D,E.
a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi.
b) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo b,c.
c) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC tại K. Chứng minh rằng
Câu 4: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (7 − p)(7 + p) chia hết cho 24
Câu 5: Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =
ĐÁP ÁN
Câu 1: a) Từ giả thiết ta có
Ta có (đpcm)
b) Theo định lý Bezout:
Do P bậc 3 . và
Suy ra
Thử lại ta thấy đúng.
Vậy
c) Đặt điều kiện:

(Do )
Ta có:
Ta có:
Tương tự:
= =
Vậy P =
Câu 2:
a) Điều kiện:
Từ giả thiết ta có:
Vì nên phương trình tương đương:
Do đó x = 2 hoặc x = 3 (thoả mãn điều kiện) hoặc: (*)
Giải phương trình (*): ( vô nghiệm vì x ≥ > )
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 3
b)
Xét (2):
Từ (1):
Ta để ý (x, y) = (0,0) không là nghiệm của hệ
do đó .
Vậy
Nếu (Thử lại thoả mãn )
Nếu (Thử lại thoả mãn)
Vậy (x,y) = (2,1) và (x,y) = (−2,−1) là nghiệm của hệ.
Câu 3:
a) Gọi M là trung điểm
Do D thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D.
Tương tự thì
Có tam giác ABC vuông tại A (giả thiết).
Mà tam giác DAB vuông tại D nên
Dễ thấy
Xét và có:
(cmt)
(cmt)
(cmt)
(c.g.c)
(2 cạnh tương ứng).
thuộc trung trực DE. Do đó trung trực DE luôn đi qua M cố định (đpcm).
b) Có
Dấu = xảy ra d tạo với AB một góc 45°.
c) Ta có điều phải chứng minh:
Do đó tam giác DHE vuông tại H.
Thật vậy, có
Do đó tam giác DHE vuông tại H, tức KB2 = BD2 + KH2 (đpcm).
Câu 4:
Do nguyên tố không là bội của 3 và 2
và p2 1 (mod8) và 8 suy ra
Vì nên
Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu 5: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:



1 + 1 + = (1)
Và ta có:
Dấu = của các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra khi và khi và chỉ khi
;
Từ (1), (2) có suy ra MaxP = 7 ;
Vậy MaxP =
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Thai Binh 23 24