onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi chuyên: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Đề:
(Đề thi này gồm 01 trang)
Bài 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 2. (2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai:
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
b) Khi , gọi là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức
.
Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: .
Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình thang , vuông tại và , . Gọi lần lượt là trung điểm của và và là trung điểm các đoạn và . Trên đoạn thẳng lấy các điểm sao cho .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh các đường thẳng và đồng quy tại .
c) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
---------------- HẾT ---------------
CÂU
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐIỂM
1.
Giải hệ phương trình
1,5
Ta có:
0,50
. Đặt . Ta được:
0,25
. Khi đó
0,50
Vậy hệ phương trình có nghiệm
0,25
2.
Cho phương trình bậc hai:
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
0,5
+ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:
0,25
+ Áp dụng định lý Vi-et ta có
+ Khi đó
(thỏa mãn)
0,25
b) Khi , gọi là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức
1,0
+ Với phương trình trở thành
+ Theo định lý Vi-et ta có
0,25
+ .
+ .
+
+
0,25
Khi đó
0,25

0,25
3.
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: .
1,5
Ta có:
0,50
0,25
0,25
Vì nên
Do đó ta có các trường hợp sau:
TH1:
TH2:
TH3:
TH4:
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn là:
0,50
0,50
4.a)
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
1,0
Ta có nên thuộc đường tròn đường kính
0,25
Dễ thấy tứ giác là hình thang vuông và nên là hình vuông và là hình bình hành.
0,25
và nên
Vậy thuộc đường tròn đường kính
0,25
Từ và suy ra hai điểm cùng thuộc đường tròn đường kính . Do đó tứ giác nội tiếp.
0,25
4.b)
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh các đường thẳng và đồng quy tại .
1,0
Theo giả thiết ta có đi qua
Ta có và nên là đường trung bình của . Suy ra lần lượt là trung điểm
0,25
Xét ta có là trung điểm và
là đường trung bình của
là trung điểm của .
Vậy đi qua
0,25
Xét ta có là trung điểm và
là đường trung bình của
là trung điểm của .
Vậy đi qua
0,25
Từ và suy ra và đồng quy tại
0,25
4.c)
c) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
1,0
Gọi là giao điểm của với đường tròn đường kính
là giao điểm của với
Ta có , là trung điểm và nên là đường trung bình của
0,25
(đồng vị)
0,25
Mà và
hay
0,25
Vậy tứ giác nội tiếp hay bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
0,25
5.
Cho hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
1,0
0,25
0,25
0,50
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Ninh Thuan 23 24