onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 02 trang, 05 câu
Mã đề 181
Học sinh làm cả phần trắc nghiệm và tự luận vào tờ giấy thi, ghi rõ mã đề thi vào bên cạnh từ
Bài làm trên tờ giấy thi.
Câu 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm, mỗi ý 0,25 điểm).
1. Tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên là
A. . B. . C. . D. .
2. Cho tam giác vuông cân tại , biết . Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
3. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn, giả sử số đo góc thì số đo góc là
A. . B. . C. . D. .
4. Biết là nghiệm của hệ phương trình . Khi đó giá trị biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
5. Cho đường tròn có bán kính bằng , chu vi của đường tròn đó là
A. . B. . C. . D. .
6. Tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng : cắt parabol tại hai điểm phân biệt là
A. . B. . C. . D. .
7. Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
8. Biểu thức có nghĩa khi
A. . B. . C. . D. .
Câu 2 (1,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức , với .
b) Giải phương trình .
c) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
a) ;
b) ;
c) .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác không cân, có ba góc nhọn và . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại . Lấy trên đường thẳng sao cho //, gọi .
a) Chứng minh rằng 5 điểm nằm trên cùng một đường tròn và đường thẳng là phân giác của .
b) Gọi . Đường thẳng đi qua và song song với cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của .
c) Kẻ cắt lại đường tròn nội tiếp ở . Chứng minh rằng .
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình .
b) Cho biết Định lí Fermat nhỏ: “Cho số nguyên tố . Nếu số nguyên không chia hết cho thì , hay là ”.
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì .
2) Cho hai số nguyên . Gọi () là số nguyên tố và là ước của . Chứng minh rằng là ước chung của và .
c) Cho tập hợp gồm điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng, không có bốn điểm nào nằm trên cùng một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm thuộc tập sao cho: bên trong đường tròn ngoại tiếp có đúng điểm của tập .
----------------------Hết--------------------------
Họ và tên thí sinh:…………………………………….SBD:………………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 02 trang, 05 câu
Mã đề 235
Học sinh làm cả phần trắc nghiệm và tự luận vào tờ giấy thi, ghi rõ mã đề thi vào bên cạnh từ
Bài làm trên tờ giấy thi.
Câu 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm, mỗi ý 0,25 điểm).
1. Biểu thức có nghĩa khi
A. . B. . C. . D. .
2. Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
3. Cho tam giác vuông cân tại , biết . Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
4. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn, giả sử số đo góc thì số đo góc là
A. . B. . C. . D. .
5. Cho đường tròn có bán kính bằng , chu vi của đường tròn đó là
A. . B. . C. . D. .
6. Tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên là
A. . B. . C. . D. .
7. Tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng : cắt parabol tại hai điểm phân biệt là
A. . B. . C. . D. .
8. Biết là nghiệm của hệ phương trình . Khi đó giá trị biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2 (1,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức , với .
b) Giải phương trình .
c) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
a) ;
b) ;
c) .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác không cân, có ba góc nhọn và . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại . Lấy trên đường thẳng sao cho //, gọi .
a) Chứng minh rằng 5 điểm nằm trên cùng một đường tròn và đường thẳng là phân giác của .
b) Gọi . Đường thẳng đi qua và song song với cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của .
c) Kẻ cắt lại đường tròn nội tiếp ở . Chứng minh rằng .
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình .
b) Cho biết Định lí Fermat nhỏ: “Cho số nguyên tố . Nếu số nguyên không chia hết cho thì , hay là ”.
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì .
2) Cho hai số nguyên . Gọi () là số nguyên tố và là ước của . Chứng minh rằng là ước chung của và .
c) Cho tập hợp gồm điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng, không có bốn điểm nào nằm trên cùng một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm thuộc tập sao cho: bên trong đường tròn ngoại tiếp có đúng điểm của tập .
----------------------Hết--------------------------
Họ và tên thí sinh:…………………………………….SBD:………………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 02 trang, 05 câu
Mã đề 316
Học sinh làm cả phần trắc nghiệm và tự luận vào tờ giấy thi, ghi rõ mã đề thi vào bên cạnh từ
Bài làm trên tờ giấy thi.
Câu 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm, mỗi ý 0,25 điểm).
1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn, giả sử số đo góc thì số đo góc là
A. . B. . C. . D. .
2. Biểu thức có nghĩa khi
A. . B. . C. . D. .
3. Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
4. Tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên là
A. . B. . C. . D. .
5. Biết là nghiệm của hệ phương trình . Khi đó giá trị biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
6. Cho đường tròn có bán kính bằng , chu vi của đường tròn đó là
A. . B. . C. . D. .
7. Cho tam giác vuông cân tại , biết . Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
8. Tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng : cắt parabol tại hai điểm phân biệt là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2 (1,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức , với .
b) Giải phương trình .
c) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
a) ;
b) ;
c) .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác không cân, có ba góc nhọn và . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại . Lấy trên đường thẳng sao cho //, gọi .
a) Chứng minh rằng 5 điểm nằm trên cùng một đường tròn và đường thẳng là phân giác của .
b) Gọi . Đường thẳng đi qua và song song với cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của .
c) Kẻ cắt lại đường tròn nội tiếp ở . Chứng minh rằng .
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình .
b) Cho biết Định lí Fermat nhỏ: “Cho số nguyên tố . Nếu số nguyên không chia hết cho thì , hay là ”.
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì .
2) Cho hai số nguyên . Gọi () là số nguyên tố và là ước của . Chứng minh rằng là ước chung của và .
c) Cho tập hợp gồm điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng, không có bốn điểm nào nằm trên cùng một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm thuộc tập sao cho: bên trong đường tròn ngoại tiếp có đúng điểm của tập .
----------------------Hết--------------------------
Họ và tên thí sinh:…………………………………….SBD:………………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 02 trang, 05 câu
Mã đề 479
Học sinh làm cả phần trắc nghiệm và tự luận vào tờ giấy thi, ghi rõ mã đề thi vào bên cạnh từ
Bài làm trên tờ giấy thi.
Câu 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm, mỗi ý 0,25 điểm).
1. Cho đường tròn có bán kính bằng , chu vi của đường tròn đó là
A. . B. . C. . D. .
2. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn, giả sử số đo góc thì số đo góc là
A. . B. . C. . D. .
3. Biểu thức có nghĩa khi
A. . B. . C. . D. .
4. Cho tam giác vuông cân tại , biết . Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
5. Biết là nghiệm của hệ phương trình . Khi đó giá trị biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
6. Tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng : cắt parabol tại hai điểm phân biệt là
A. . B. . C. . D. .
7. Tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên
A. . B. . C. . D. .
8. Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2 (1,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức , với .
b) Giải phương trình .
c) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
a) ;
b) ;
c) .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác không cân, có ba góc nhọn và . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại . Lấy trên đường thẳng sao cho //, gọi .
a) Chứng minh rằng 5 điểm nằm trên cùng một đường tròn và đường thẳng là phân giác của .
b) Gọi . Đường thẳng đi qua và song song với cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của .
c) Kẻ cắt lại đường tròn nội tiếp ở . Chứng minh rằng .
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình .
b) Cho biết Định lí Fermat nhỏ: “Cho số nguyên tố . Nếu số nguyên không chia hết cho thì , hay là ”.
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì .
2) Cho hai số nguyên . Gọi () là số nguyên tố và là ước của . Chứng minh rằng là ước chung của và .
c) Cho tập hợp gồm điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng, không có bốn điểm nào nằm trên cùng một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm thuộc tập sao cho: bên trong đường tròn ngoại tiếp có đúng điểm của tập .
----------------------Hết--------------------------
Họ và tên thí sinh:…………………………………….SBD:………………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)
HDC CHÍNH THỨC
Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang
Hướng dẫn chung:
- Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa ứng với phần đó.
- Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai hẳn: không cho điểm.
- Điểm toàn bài chấm lẻ đến 0,25.
Câu 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm)
Ý
Đáp án các mã đề
Điểm
Mã đề 181
Mã đề 235
Mã đề 316
Mã đề 479
1
C
C
B
B
0,25
2
A
C
A
C
0,25
3
D
A
C
B
0,25
4
B
B
B
B
0,25
5
C
B
A
C
0,25
6
C
D
B
C
0,25
7
D
C
B
A
0,25
8
A
C
D
A
0,25
Câu 2 (1,5 điểm)
Ý
Nội dung
Điểm
a
0,25
0,25
b
ĐK:
0,25
(tmđk)
0,25
c
0,25
Với , thay vào ta được:
Với , thay vào ta được:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
0,25
Câu 3 (1,5 điểm)
Ý
Nội dung
Điểm
a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
0,25
Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta được , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
b
Đặt , bất đẳng thức trở thành
0,25
Bất đẳng này đúng đúng vì , dấu bằng xảy ra khi vả chỉ khi .
0,25
c
0,25
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
Cộng các bất đẳng thức trên trên vế theo vế ta được
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
Câu 4 (3,0 điểm)
Ý
Nội dung
Điểm
a
Dễ thấy rằng nên suy ra nội tiếp.
0,25
Vì // và , suy ra , vậy thì
suy ra nội tiếp, vậy thì 5 điểm nằm trên đường tròn.
0,25
Suy ra
0,25
Lại có (bán kính đường tròn nội tiếp); do đó suy ra , hay là là phân giác góc .
0,25
b
Vì // suy ra . Dễ thấy nên nội tiếp, do đó .
0,25
Chứng minh tương tự thì , chú ý rằng tam giác cân tại nên suy ra nên .
0,25
Gọi là trung điểm của đoạn .
Vì tam giác cân và có là đường cao nên suy ra .
0,25
Vì // và có , theo định lí Thales đảo thì thẳng hàng.
0,25
c
Gọi , dễ thấy rằng (vì nội tiếp).
0,25
Lại có nội tiếp nên , suy ra tức là nội tiếp, suy ra .
0,25
Vì là đường kính của nên , do đó thẳng hàng
0,25
Xét tam giác có , suy ra là trực tâm tam giác .
Do đó suy ra
0,25
Câu 5 (2,0 điểm)
Ý
Nội dung
Điểm
a
0,25
1
5
5
1
Kết luận
t/m
Loại
t/m
Loại
0,25
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên .
0,25
b
1) Nếu thì ;
Nếu , áp dụng định lí Fermat thì , do đó .
0,25
2) Nếu , vì chia hết cho nên
vậy thì là ước chung của và .
Giả sử, , vì chia hết cho nên .
Từ , chú ý rằng là số lẻ,
do đó (*)
0,25
theo định lí Fermat thì (**)
Từ (*) và (**) thì ta suy ra hay là
điều này vô lí vì là số lẻ.
Do đó điều giả sử sai, tức là hay là là ước chung của và .
0,25
c
Lấy 2 điểm sao cho tất cả các điểm của tập nằm về cùng một phía của đường thẳng .
Nhận xét: Với điểm và bất kì. Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác (như hình vẽ). Thế thì: ở ngoài đường tròn này khi và chỉ khi .
Chứng minh nhận xét: ở ngoài đường tròn ngoại tiếp tam giác khi và chỉ khi một trong hai đường cắt như hình vẽ, giả sử cắt tại . Khi đó, theo tính chất góc ngoài tam giác thì (các trường hợp hình vẽ suy biến khác có thể lập luận tương tự).
0,25
Vì 4 điểm bất kì không nằm trên đường tròn, do đó ta đánh số các điểm còn lại của tập (trừ ) là sao cho
.
Chọn đường tròn , thì có đúng các điểm nằm trong đường tròn này.
0,25
------------ HẾT -------------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Lang Son 23 24