onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 - 2024
Bài thi: TOÁN
Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin học
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của để
Câu II (2,0 điểm).
1. Cho parabol và đường thẳng (với là tham số). Tìm các giá trị của để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung, có hoành độ thỏa mãn .
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: .
Câu III (2,0 điểm).
1. Giải phương trình .
2. Giải hệ phương trình .
Câu IV (3,0 điểm).
1. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn , là trung điểm của cạnh . là điểm bất kì thuộc đoạn ( khác ). Lấy điểm thuộc đoạn sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn .
a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh diện tích tam giác không đổi. Xác định vị trí của điểm để đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất.
2. Có một bình thủy tinh hình trụ cao chứa nước, diện tích đáy bình bằng diện tích xung quanh, mặt nước cách đáy bình là (hình vẽ bên). Cần đổ thêm bao nhiêu lít nước nữa để nước vừa đầy bình (Bỏ qua bề dày của bình, cho và lấy kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
------------ HẾT ------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh..........................................................
Số báo danh:...............................................................
Phòng thi số:……...............................................
Chữ ký của Cán bộ coi thị: ................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: TOÁN
Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin học
I. Hướng dẫn chung
1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không được làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Câu
Nội dung
Điểm
Câu I.1 1.0 điểm
Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức P.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu I.2 1.0 điểm
b) Tìm tất cả các giá trị của để
Ta có
0,25
0,25
0,25
Kết hợp với điều kiện suy ra
0,25
Câu II.1 1.0 điểm
1. Cho parabol và đường thẳng (với là tham số). Tìm các giá trị của để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung, có hoành độ thỏa mãn .
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm
+ Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
Ta có:
Phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi
.
0,25
+ Theo đề bài ta có:

Do đó .
0,25
+ Đặt ta có:
(vì )
0,25
(thỏa mãn). Vậy
0,25
Câu II.2 1,0 điểm
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: .
0,25
Nếu . Từ (1) (vô nghiệm nguyên)
0,25
Nếu thì và từ (1)
Thay vào (2) ta được
(thỏa mãn)
0,25
Thay vào (2) ta được
(thỏa mãn)
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn là
0,25
Câu III 1,0 điểm
1. Giải phương trình .
Đặt . Ta có hệ .
Cộng từng vế (1) với (2) ta được
0,25

Đặt Từ (3) có
Do nên hay
0,25
Thay vào phương trình (2) ta được
0,25
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
0,25
Câu III.2
1,0 điểm
2. Giải hệ phương trình .
Ta có:

0,25
Thay vào (1) ta được:

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
Với
Với
0,25
Thay vào (1) ta được:
Vì nên phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt
Với
Với
0,25
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
0,25
Câu IV.a
1,0 điểm
1. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn , là trung điểm của cạnh . là điểm bất kì thuộc đoạn ( khác ). Lấy điểm thuộc đoạn sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn .
a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Do đều nên hay
0,25
Xét và có (do đều) .
0,25
hay cân tại O
Do I là trung điểm của suy ra hay
0,25
Từ (1) và (2) suy ra nội tiếp cùng thuộc một đường tròn
0,25
Câu IV.b
1,0 điểm
b) Chứng minh diện tích tam giác không đổi. Xác định vị trí của điểm để đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất.
Ta có tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 1800) nên
0,25
Ta có
Gọi là trung điểm của AC thì thẳng hàng.
0,25
Kẻ lần lượt vuông góc với
Thì không đổi.
Vậy diện tích không đổi (đpcm)
0,25
Trong tam giác vuông và có:

Dấu “=” xảy ra
0,25
Câu V
1,0 điểm
2. Có một bình thủy tinh hình trụ cao chứa nước, diện tích đáy bình bằng diện tích xung quanh, mặt nước cách đáy bình là (hình vẽ bên). Cần đổ thêm bao nhiêu lít nước nữa để nước vừa đầy bình (Bỏ qua bề dày của bình, cho và lấy kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Gọi chiều cao và bán kính đáy của bình lần lượt là
Thể tích của bình, thể tích nước có trong bình và thể tích nước cần đổ đầy bình lần lượt là .
Ta có:
0,25
Thể tích của bình là
0,25
Thể tích nước có trong bình là
0,25
Vậy thể tích nước cần đổ thêm vào để đầy bình là:
Vậy cần đổ thêm 3,8 lít nước thì bình đầy nước.
0,25
Câu VI 1,0 điểm
Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Ta có
Đặt .
Ta có:
Tương tự:
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
0,25
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
nên
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là khi và chỉ khi
0,25
------------ HẾT ------------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Hung Yen 23 24