onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2023-2024
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
b) Cho với Tính
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Cho các số nguyên thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng  chia hết cho
b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện chia hết cho
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình
b) Bạn An viết lên trên bảng số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng
Câu 4 (3,0 điểm). Trên đường tròn tâm đường kính lấy điểm sao cho và là một điểm thay đổi trên cung nhỏ ( khác và ). Gọi là giao điểm của và là hình chiếu của trên cắt tại là điểm đối xứng với qua
a) Chứng minh và ba điểm thẳng hàng.
b) Gọi là giao điểm thứ hai của và Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác thuộc đường thẳng cố định khi thay đổi.
c) Xác định vị trí của điểm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). Xét các số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.......................Hết.....................
Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:........................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2023-2024
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Hướng dẫn chấm có 06 trang
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
Câu 1 (2 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Đáp án
Điểm
Xét phương trình:
Ta có : nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
0,25
Ta tìm được hai nghiệm của phương trình là  và
0,25
Trường hợp 1 : bài toán trở thành :
0,25
Trường hợp 2: bài toán trở thành :
(vô nghiệm).
Vậy thỏa mãn là các giá trị phải tìm.
0,25
b) Cho với Tính
Đáp án
Điểm
Ta có: với
0,25
Thật vậy, khi hai vế của đẳng thức đều dương nên bình phương hai vế của đẳng thức trên, ta được:
(luôn đúng)
0,25
Áp dụng ta được:
0,25
Vậy
0,25
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Cho các số nguyên thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng  chia hết cho
Đáp án
Điểm
Từ giả thiết
Vì chia hết cho nên chia hết cho
0,25
Mà
chia hết cho
0,25
Suy ra chia hết cho
0,25
Mà là số nguyên tố, do đó chia hết cho
0,25
b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện chia hết cho
Đáp án
Điểm
Xét đa thức
0,5
Khi đó, ta có :
0,25
chia hết cho
0,25
(Lưu ý: Học sinh có thể chọn các đa thức khác thỏa mãn vẫn cho điểm tối đa).
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
Nội dung
Điểm
Điều kiện:
Ta có Đặt ta có
0,25
Thay vào phương trình , ta được:
. Điều kiện:
Đặt , , ta có phương trình: (thỏa mãn)
0,25
Với (thỏa mãn)
0,25
Với (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
0,25
b) Bạn An viết lên trên bảng số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng

Nội dung
Điểm
Giả sử các số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) bạn An viết lên bảng là thỏa mãn
Gọi
Ta có và với mọi
0,25
Chia các tổng cho , có ít nhất 2 số có cùng số dư.
Giả sử có cùng số dư khi chia cho Khi đó .
Mà nên hoặc
0,25
- Nếu thì các số còn lại trên bảng thỏa mãn điều kiện.
0,25
- Nếu thì nên các số là các số còn lại trên bảng thỏa mãn điều kiện.
0,25
Câu 4 (3,0 điểm). Trên đường tròn tâm đường kính lấy điểm sao cho và là một điểm thay đổi trên cung nhỏ ( khác và ). Gọi là giao điểm của và là hình chiếu của trên cắt tại là điểm đối xứng với qua
a) Chứng minh và ba điểm thẳng hàng.
b) Gọi là giao điểm thứ hai của và Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác thuộc đường thẳng cố định khi thay đổi.
c) Xác định vị trí của điểm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Vẽ hình:
a) Chứng minh rằng và ba điểm thẳng hàng.
Đáp án
Điểm
Tam giác nhận làm trực tâm do có hai đường cao cắt nhau tại nên Mặt khác là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên Từ (1) và (2), suy ra ba điểm thẳng hàng.
0,25
Hai tam giác vuông có chung nên đồng dạng.
Suy ra
0,25
Tứ giác nội tiếp nên nội tiếp nên
Suy ra
0,25
Mà do tính đối xứng nên . Vậy Vậy thẳng hàng.
0,25
(Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa).
b) Gọi là giao điểm thứ hai của và đường tròn Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng cố định khi thay đổi.
Đáp án
Điểm
Theo tính chất đối xứng, ta có:
0,25
Mặt khác: (cùng bằng một nửa góc ).
Do đó . Suy ra tứ giác nội tiếp.
0,25
Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của đoạn
0,25
Do cố định nên cố định. Suy ra cố định, (Đpcm).
0,25
(Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa).
c) Xác định vị trí của điểm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án
Điểm
Lấy thuộc đoạn sao cho suy ra tam giác cân tại
Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Vậy tam giác đều.
0,25
Xét tam giác và có:
Lại có: (do hai tam giác đều). Suy ra
Do đó tam giác và bằng nhau.
0,25
Suy ra
0,25
Vậy tổng đạt giá trị lớn nhất khi là đường kính của đường tròn tâm
0,25
(Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa).
Câu 5 (1,0 điểm). Xét các số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đáp án
Điểm
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:

0,25
Mặt khác:

Do đó :
0,25
Xét bất đẳng thức:
luôn đúng theo bất đẳng thức AM - GM.
0,25
Do đó
Suy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
0,25
......................Hết.....................
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Hung Vuong Phu Tho 2324