onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang, 05 bài)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
ĐỀ THI MÔN: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức (với ).
Rút gọn biểu thức và chứng minh .
b) Cho phương trình: ( là ẩn, là tham số). Chứng minh nếu là số chính phương thì phương trình đã cho có hai nghiệm cũng là những số chính phương.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân nội tiếp đường tròn tâm Vẽ đường kính của
đường tròn và lấy điểm trên đoạn thẳng Gọi và tương ứng là
hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng và Gọi là hình chiếu vuông góc của trên cạnh
a) Chứng minh và hai đường thẳng song song với nhau.
b) Cho và cắt nhau tại điểm di động trên đoạn thẳng Đường thẳng vuông góc với AQ tại điểm Q cắt các đường thẳng tương ứng tại Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn và
c) Kẻ vuông góc với Chứng minh đường thẳng đi qua điểm và
song song với luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho các số thực thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 5. (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố và số nguyên dương thoả mãn
b) Cho 8 điểm phân biệt trên một đường tròn. Đánh số các điểm đó một cách ngẫu nhiên bởi các số (hai điểm khác nhau được đánh số bởi hai số khác nhau). Mỗi dây cung nối
hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được bốn dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với
bốn dây cung đó bằng 16.
------- HẾT -------
(Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: .......................................... Số báo danh: .....................................................
Cán bộ coi thi 1: ............................................ Cán bộ coi thi 2: .................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024
ĐÁP ÁN: TOÁN CHUYÊN
(Đáp án gồm 04 trang)
Bài
Nội dung
Điểm
TT
Ý
1
a)

0,25

0,25
. Vậy .
0,5
b)
Có
0,25
Khi đó
.
0,5
Do là số chính phương nên là số nguyên nên là số chính phương
0,25
2
a)
Đặt ,
Khi đó phương trình trở thành:
0,25
(vì )
0,25
.
0,5
b)
ĐKXĐ: . PT thứ nhất (1).
0,25
PT thứ hai .
0,25
+TH1: . Kết kợp với (1):
(tmđkxđ).
0,25
+TH2: ( Vô lý vì ).
Vậy .
0,25
3
a)
Ta có do cùng phụ với , suy ra .
0,25
Có AEPF là tứ giác nội tiếp, suy ra
0,25
Có và
0,25
Suy ra
0,25
b)
AQEM là tứ giác nội tiếp cùng nằm trên một đường tròn.
0,25
Ta có , tương tự
0,25
0,25
0,25
c)
Gọi L là chân đường vuông góc hạ từ điểm xuống đường thẳng .
Từ .
0,25
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và J là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AQ và đường thẳng qua I vuông góc với BC. Suy ra .
0,25
Mặt khác ta có IJ//LD nên suy ra tứ giác ILDJ (hoặc IJLD) là hình thang cân.
0,25
Suy ra, I và J đối xứng với nhau qua trung trực của DL, hay qua trung trực của AH.
Do ALDH là hình chữ nhật (dễ thấy). Từ đây, vì I là điểm cố định và trung trực của AH là đường thẳng cố định nên J là điểm cố định.
0,25
4
Ta có: .
0,25
Trong ba số a, b, c luôn có hai số cùng không âm hoặc cùng không dương; do đó không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó
.
0,25
Ta có sự tương đương .
0,25
Vậy ; dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi , . Do đó .
0,25
5
a)
Ta có .
0,25
0,25
0,5
b)
Gọi là tập 4 điểm được gán các số 1, 2, 3, 4 và là tập 4 điểm còn lại. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại 4 dây cung không có điểm chung, mỗi dây cung nối một điểm của X và một điểm của Y. Một cách nối như vậy thoả mãn yêu cầu bài toán vì tổng các số tương ứng với 4 dây cung này bằng .
0,25
Dễ thấy rằng có một điểm của nằm kề một điểm của . Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 6 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con , tương ứng, mỗi tập gồm 3 điểm được đánh dấu.
0,25
Bây giờ, lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của kề nhau với một điểm trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này rồi loại bỏ 2 điểm đánh dấu này lẫn dây cung đi, ta còn lại 4 điểm được đánh dấu trên đường tròn và 2 tập con tương ứng, mỗi tập gồm 2 điểm được đánh dấu.
0,25
Lập luận tương tự, ta cũng suy ra có một điểm của kề nhau với một điểm trên đường tròn đã bỏ đi 2 điểm trước đó. Kẻ dây cung nối 2 điểm này cũng như dây cung nối 2 điểm còn lại. Bây giờ, khôi phục lại các dây cung ban đầu. Dễ thấy, 4 dây cung được kẻ đôi một không có điểm chung.
0,25
Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.
- Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
- Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm.
- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm.
- Bài hình học, thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.
- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó.
- Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Hai Phong 23 24