onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Ngày thi: 03/06/2023
Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
1. Cho hai số thoả mãn các điều kiện . Rút gọn biểu thức:
2. Cho hai số dương thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 2 (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ sao cho là số chính phương.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Câu 4 (3,0 điểm)
1. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn , điểm thuộc cung nhỏ của đường tròn . Đường thẳng cắt các tiếp tuyến tại của đường tròn lần lượt tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là giao điểm của và , là trung điểm . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
2. Cho đường tròn và hai điểm cố định nằm trên đường tròn sao cho . Điểm thay đổi trên cung lớn của đường tròn . Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với lần lượt tại . Chứng minh rằng đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng . Chứng minh rằng:
---------HẾT---------
Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ………………………………
Cán bộ coi thi số 1 …………………………………………Cán bộ coi thi số 2 ……………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
(2 điểm)
1
Cho hai số thoả mãn các điều kiện . Rút gọn biểu thức:
Ta có:
Nên
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Cho hai số dương thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức:
0,25
Đặt
0,25
0,25
. Vậy .
0,25
2
(2 điểm)
1
Giải phương trình:
Điều kiện:
0,25
Phương trình trở thành
0,25
(vô nghiệm)
0,25
(Thoả mãn điều kiện)
0,25
2
Giải hệ phương trình:
Hệ phương trình đã cho trở thành
Đặt ta được hệ
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2 điểm)
1
Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ sao cho là số chính phương.
Đặt
Với thì là số chính phương. Vậy thoả mãn.
0,25
Với thì . Suy ra
0,25
Suy ra
0,25
Do các số chính phương chia cho 3 chỉ dư hoặc 1 nên không là số chính phương.
0,25
2
Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Ta có phương trình
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3 điểm)
1
1. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn , điểm thuộc cung nhỏ của đường tròn . Đường thẳng cắt các tiếp tuyến tại của đường tròn lần lượt tại .
a) Chứng minh rằng .
Ta có
0,25
Tương tự ta có
0,25
Từ (1) và (2) ta có đồng dạng (g-g)
0,25
0,25
2
b) Gọi là giao điểm của và , là trung điểm . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
Gọi là giao điểm của và . Từ a) suy ra
Mặt khác . Tương tự
Suy ra
Từ (3) và (4) ta có đồng dạng (c-g-c). Suy ra
0,25
Ta có
Do nội tiếp nên
Từ (5) và (6) ta có . Suy ra nội tiếp
0,25
. Do đó đồng dạng (g-g). Suy ra
0,25
Chứng minh tương tự ta có .
Từ (7) và (8) suy ra . Vậy thẳng hàng.
0,25
3
2. Cho đường tròn và hai điểm cố định nằm trên đường tròn sao cho . Điểm thay đổi trên cung lớn của đường tròn . Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với lần lượt tại . Chứng minh rằng đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gọi là trung điểm của . Vẽ cùng vuông góc .
Ta có , hơn nữa nên tam giác đều.
0,25
Tam giác vuông có
Tam giác vuông có
0,25
Cộng vế (1) và (2) ta có
không đổi.
0,25
Vì điểm cố định nên tiếp xúc với đường tròn cố định tâm , bán kính .
0,25
5
(1 điểm)
Cho là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng . Chứng minh rằng:
Giả sử . Khi đó :
0,25
Đặt . Khi đó và .
Ta có
0,25
0,25
Dấu bằng xảy ra khi . Do vai trò của bình đẳng nên dấu “=” của xảy ra khi và chỉ khi trong ba số có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.
0,25
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Hai Duong 23 24