onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẮK LẮK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm.
2. Gọi là các nghiệm của phương trình . Tính giá trị biểu thức .
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Cho đa thức thỏa mãn với mọi số thực .
a) Trong đẳng thức , thay bởi và ghi ra kết quả.
b) Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi là tổng diện tích của 9 hình vuông đã cho. Tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và có diện tích bằng ?
2. Vẽ bất kì 17 đường tròn, mỗi đường tròn có độ dài đường kính là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong 17 đường tròn đó, ta luôn chọn được 5 đường tròn có tổng độ dài các đường kính là một số chia hết cho 5.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác có . Gọi là trung điểm của , đường tròn tâm bán kính (ký hiệu là đường tròn ) cắt tại , là giao điểm của và .
a) Chứng minh rằng và tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm của và đường tròn . Chứng minh rằng .
c) Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường tròn , là giao điểm của và . Tính tỉ số .
Câu 5. điểm) Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
-------HẾT-------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của cán bộ coi thi 1: Chữ ký của cán bộ coi thi 2:
Lời giải
Câu 1. (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm.
2) Gọi là các nghiệm của phương trình . Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
1. Phương trình đã cho có nghiệm khi .
2. Phương trình đã cho tương đương với
Đặt . Ta được .
Khi đó, PT đã cho tương đương .
Vậy
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Cho đa thức thỏa mãn với mọi số thực .
a) Trong đẳng thức , thay bởi và ghi ra kết quả.
b) Giải phương trình
2) Giải hệ phương trình
Lời giải
1.
a) Trong thay bởi ta được:

b) Lấy ta được:
.
Khi đó:
2. . ĐK: .
Từ
Đặt ta được: .
Từ
.
TH1:
.
TH2: (Không thỏa mãn ĐK).
So với điều kiện, suy ra hệ đã cho có nghiệm
Câu 3. (2,0 điểm)
1) Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi là tổng diện tích của 9 hình vuông đã cho. Tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và có diện tích bằng ?
2) Vẽ bất kì 17 đường tròn, mỗi đường tròn có độ dài đường kính là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong 17 đường tròn đó, ta luôn chọn được 5 đường tròn có tổng độ dài các đường kính là một số chia hết cho 5.
Lời giải
1. Giả sử cạnh của 9 hình vuông lần lượt là (với ).
Ta có: .
Giả sử tồn tại hình vuông có cạnh bằng , với .
Theo giả thiết ta có:
Do nên , mà là số nguyên tố nên .
Khi đó hay .
Lại có . Không tồn tại .
Vậy không tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và có diện tích bằng .
2.
Cách 1
- Gọi độ dài đường kính 17 đường tròn đó lần lượt là
Yêu cầu bài toán trở thành: Chứng minh luôn chọn được 5 số từ 17 số trên có tổng chia hết cho 5
Chia 17 số trên cho 5, ta được 17 số dư, mà một số chia 5 có thể dư nên theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 4 số có cùng số dư, rõ ràng nếu nhiều hơn 4 thì tổng của 5 số sẽ chia hết cho 5, ta xét trường hợp có 4 số có cùng số dư, không mất tính tổng quát, ta giả sử là và gọi số dư đó là với .
- Xét 13 số còn lại, nếu có ít nhất một số chia 5 dư thì tổng của số đó với 4 số chia 5 dư ở trên sẽ chia hết cho 5, ta xét trường hợp 13 số trên chia 5 có 4 số dư (là 5 số từ 0 tới 4 trừ đi ), theo Dirichlet thì sẽ có ít nhất 4 số có cùng số dư, ta giả sử là và số dư đó là
- Xét 9 số từ tới , nếu có một số nào đó chia 5 dư thì ta có tổng 5 số gồm số đó với 4 số chia hết cho 5. Ta xét trường hợp 9 số này chia 5 có thể dư 3 số dư (từ 0 tới 4 trừ , trừ ). Theo Dirichlet thì có 3 số sẽ có cùng số dư, ta giả sử là và số dư đó là .
TH1: chia 5 cũng dư . Khi đó xét 5 số từ tới nếu có 1 số nào đó chia 5 dư thì rõ ràng ta có 5 số và số đó có tổng chia hết cho 5.
Xét trường hợp 5 số tới chia 5 có thể dư 2 số dư (từ 0 tới 4 trừ , trừ , trừ ), theo Dirichlet sẽ có 3 số có cùng số dư, giả sử 2 số này là và số dư đó là . Nếu trong 2 số và có một số dư khác , giả sử là thì rõ ràng ta có 5 số là có 5 số dư đôi một khác nhau nên tổng của nó sẽ chia hết cho 5. Còn trong trường hợp 2 số có cùng số dư là thì rõ ràng 5 số có tổng chia hết cho 5
TH2: chia 5 có số dư khác , ta gọi số dư đó là khi đó 5 số từ tới nếu có một số nào chia 5 khác , giả sử là khi đó ta có 5 số là có 5 số dư đôi một khác nhau nên tổng của chúng sẽ chia hết cho 5. Còn trong trường hợp 5 số đó chia 5 có cùng số dư thì hiển nhiên tổng của chúng chia hết cho 5. Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn
Cách 2
Gọi độ dài đường kính 17 đường tròn đó lần lượt là
Chia 17 số trên thành các tập trong đó là tập các số chia 5 dư . Nếu có 1 tập nào đó chứa nhiều hơn 5 số thì tổng 5 số đó chia hết cho 5. Còn nếu mọi tập đều chứa ít hơn 5 phần tử, xét 4 tập bất kì, khi đó tổng số phần tử 4 tập này không quá 16 phần tử, do đó có ít nhất 1 phần tử thuộc vào tập còn lại,
Vậy ta có 5 phần tử thuộc 5 tập khác nhau nên tổng 5 số này chia hết cho 5
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác có . Gọi là trung điểm của , đường tròn tâm bán kính (ký hiệu là đường tròn ) cắt tại , là giao điểm của và .
a) Chứng minh rằng và tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm của và đường tròn . Chứng minh rằng .
c) Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường tròn , là giao điểm của và . Tính tỉ số .
Lời giải
a) Vì nên và suy ra là tiếp tuyến của .
Ta có: , , (cùng chắn ),
( cân tại ). Suy ra: .
Xét và ta có: chung, (cmt) . Suy ra: (g.g)
Suy ra: (1) (2 góc tương ứng).
Dễ thấy: vuông tại có đường trung tuyến .
Suy ra: cân tại . (2)
Từ . Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có: (cmt) (vì ).
Xét và có: chung, (cmt). Suy ra: (g.g)
Suy ra: . Lại có: (cùng chắn cung ).
Suy ra: . Mà chúng là hai góc so le trong .
Mặt khác suy ra: (đpcm).
c) Gọi là giao điểm của và . Xét vuông tại và vuông tại có: (so le trong, ). Suy ra: (g.g).
Suy ra:
. Suy ra:
. (3)
Lại có: . (4)
Dễ thấy: . (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra: .
Mà .Vậy .
Câu 6. điểm) Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Tương tự
Suy ra .
Dấu xảy ra khi .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen DAKLak 23 24