onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
ĐĂK NÔNG NĂM HỌC: 2023 – 2024
Môn: TOÁN (chuyên)
Khoá thi ngày: 8/6/2023
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (1,5 điểm) Với , cho các biểu thức và .
a) Tính giá trị biểu thức khi .
b) Rút gọn biểu thức .
c) Tìm để .
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho parabol và đường thẳng với là tham số. Tìm để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho .
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: .
Câu 4. (0,5 điểm) Cho tập hợp gồm 912 số tự nhiên lẻ. Cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số từ tập hợp sao cho trong các số được chọn luôn tồn tại hai số có tổng bằng ?
Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác có 3 góc nhọn . Vẽ đường cao của tam giác đó. Gọi là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và .
a) Chứng minh rằng là tam giác vuông.
b) Chứng minh .
c) Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc từ đến đường thẳng . Chứng minh rằng giao điểm của và thuộc đường tròn đường kính .
Câu 6. (0,5 điểm) Cho là 2 số thực dương.
a) Chứng minh rằng .
b) Cho thỏa mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
---------------------------------@Hết@---------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (1,5 điểm) Với , cho các biểu thức và .
a) Tính giá trị biểu thức khi .
b) Rút gọn biểu thức .
c) Tìm để .
Lời giải
a) Tính giá trị biểu thức khi .
Ta có: (thỏa mãn điều kiện ). Khi đó:
.
Vậy khi .
b) Rút gọn biểu thức .
Ta có:
.
Vậy với .
c) Tìm để .
Ta có:
(ĐKXĐ: và )
(vì )
.
Kết hợp điều kiện, ta được và .
Vậy khi và .
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình:
Lời giải
a) Giải phương trình: .
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
(vì )
.
Vậy .
b) Giải hệ phương trình:
ĐKXĐ:
PT (1)
(vì nên ).
Thay vào phương trình (2), ta được:
(ĐKXĐ: )
Vì nên
Do đó (thỏa mãn).
Vậy .
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho parabol và đường thẳng với là tham số. Tìm để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho .
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: .
Lời giải
a) Cho parabol và đường thẳng với là tham số. Tìm để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho .
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
(1)
Ta có:
Để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
.
Với có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
.
Ta có:
.
Vậy .
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có: .
Vì nguyên nên ta có các trường hợp sau:
1
3
3
1
0
0
4
2
Vậy .
Câu 4. (0,5 điểm) Cho tập hợp gồm 912 số tự nhiên lẻ. Cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số từ tập hợp sao cho trong các số được chọn luôn tồn tại hai số có tổng bằng ?
Lời giải
Xét các cặp số trong tập hợp có tổng bằng 2288 là:
(*)
Số các cặp số trong tập hợp có tổng bằng 2288 là:
.
Số các số trong tập hợp mà không có số ghép đôi để tổng bằng 2288 là:
.
Chọn ra 441 số từ (*), theo Dirichlet tồn tại một nhóm chứa 2 số có tổng bằng 2288.
Vậy cần chọn ít nhất số từ tập hợp luôn tồn tại hai số có tổng bằng .
Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác có 3 góc nhọn . Vẽ đường cao của tam giác đó. Gọi là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và .
a) Chứng minh rằng là tam giác vuông.
b) Chứng minh .
c) Gọi lần lượt là chân các đường vuông góc từ đến đường thẳng . Chứng minh rằng giao điểm của và thuộc đường tròn đường kính .
Lời giải
a) Chứng minh rằng là tam giác vuông.
Ta có các tam giác và tam giác là các tam giác vuông nên có
và ( tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ) và
( vì tam giác vuông tại )
là tam giác vuông
b) Chứng minh .
+) Xét và có:
(cùng phụ )
.
+) Xét và có:
(chứng minh trên)
(cùng phụ )
+) Xét và có:
(chứng minh trên)
.
Cách khác: Ta có: và
là đường trung trực của
mà cân tại
đồng thời là đường phân giác của
(3)
+) Ta có: tứ giác nội tiếp đường tròn tâm (chứng minh câu a)
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ) (4)
Từ (3), (4) suy ra .
Ý c)
Gọi là giao điểm của và tại ( do và nên là đường trung trực của )
+) Ta có: Tứ giác nội tiếp
.
+) Ta có: Tứ giác nội tiếp

Cộng lại ta được (vì tam giác vuông ở )
. Vậy giao điểm của và thuộc đường tròn đường kính .
Câu 6. (0,5 điểm) Cho là 2 số thực dương.
a) Chứng minh rằng .
b) Cho thỏa mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải
a) Chứng minh rằng .
Ta có:
. Dấu “=” xảy ra khi .
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Áp dụng bất đẳng thức , ta có:
(vì )
Mặt khác (theo câu a)
Suy ra
+) Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy cho 3 số dạng , ta có:
(1)
+) Ta có:
(vì nên )
(2)
Từ (1), (2) suy ra .
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của khi .
---------------------------------@Hết@---------------------------------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen DAK NONG 23 24