onthicaptoc.com
GIẢI KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT, NĂM 2023 TỈNH BÌNH THUẬN
MÔN: TOÁN (chuyên Toán)
Bài 1. (2,0 điểm) Giải phương trình .

Lời giải.
Điều kiện: .
Đặt suy ra khi đó phương đã cho trở thành:

+ Với t = 3 suy ra
+
+Với suy ra
Vậy .
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Kí hiệu là tổng các chữ số của số nguyên dương . Biết và là hai số nguyên dương thỏa . Chứng minh rằng và chia hết cho 9 .
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Lời giải
a) Theo giả thiết ta có:
(1) (do có cùng số dư khi chia cho 9)
(2)
(3)
Từ (3) ta có :
*
*
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có:

+ Nếu thì từ (*) suy ra .
Vậy trong trường hợp này phương trình (*) có 4 nghiệm là .
+ Nếu thì do nên (*) không có nghiệm nguyên.
+ Nếu thì do nên (*) không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là .
Bài 3. (2,0 điểm) Cho các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng .
Lời giải
*Ta có .
* Theo AM – GM ta có: .
Chứng minh tương tự ta được: và .
Suy ra (đpcm)
Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều có đường cao . Trên cạnh lấy điểm tuỳ ý ( không trùng . Gọi lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ đến .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh .
c) Cho đường tròn nội tiếp tam giác . Gọi theo thứ tự là tiếp điểm của với các cạnh . Vẽ vuông góc với tại . Chứng minh .
Lời giải
a) Chứng minh rằng .
*Do đều nên .
*Ta có
Cách 2:
vuông tại Q
vuông tại P
Suy ra: MP + MQ =(1)
vuông tại H (2)
Từ (1) và (2) suy ra:MP+MQ = AH.
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh .
Ta có: suy ra năm điểm A, Q, M, H, P cùng thuộc một đường tròn
mà ( đều có AH là cao đồng thời là phân giác) suy ra (3).
+Ta có: và vuông lần lượt tại Q và P có QK và PK lần lượt là đường trung tuyến(KA=KM(gt)).(4).
Từ (3) và (4) suy ra: HK là đường trung trực của PQ suy ra: .
c) Cho đường tròn nội tiếp tam giác . Gọi theo thứ tự là tiếp điểm của với các cạnh . Vẽ vuông góc với tại . Chứng minh .
+Kẻ BI vuông góc với EF tại I, Kẻ MJ vuông góc với EF tại J,
Ta có : (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra: mà
Ta có: đồng dạng với suy ra: (ta lét)
Suy ra:
suy ra: (do t/c tiếp tuyến nên BD=BE và DM =MF) mà (cùng kề bù với 2 góc bằng nhau ) suy ra: đồng dạng với suy ra: .
Cách 2: Theo tính chất tiếp tuyến ta có cân tại nên suy ra , do đó .
Từ đây ta được hai tam giác đồng dạng với nhau (g.g), suy ra
hai tam giác đồng dạng với nhau. Do đó ta được: hay (đpcm)
Bài 5. (1,0 điểm) Chia bảng vuông có cạnh bằng thành các ô vuông có cạnh bằng . Ban đầu, tất cả các ô vuông được điền bởi dấu +. Sau đó, người ta thực hiện đổi dấu (mỗi lần đổi dấu là chuyển + thành -, - thành +) trong các ô vuông ở các dòng và các cột của bảng theo qui tắc sau:
- Tất cả các ô của dòng thứ được đổi dấu lần và .
- Tất cả các ô của cột thứ được đổi dấu lần và .
Hỏi sau khi thực hiện tất cả thao tác đổi dấu, trên bảng còn bao nhiêu dấu +?
Lời giải
* Theo cách chia ta có bảng ô vuông 23x23; trong đó có 12 dòng mà lẻ; 11 dòng mà chẵn và 12 cột mà lẻ; 11 cột mà chẵn.
*Theo quy tắc đổi dấu thì ô vuông ở vị trí (dòng thứ và cột thứ ) sẽ phải đổi dấu lần.
*Do luôn là số lẻ nên hai số không có cùng tính chẵn lẻ. Do đó những ô vuông ở vị trí mà lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần (do chẵn), nên những ô này sau khi đổi dấu vẫn mang dấu (+); còn những ô vuông ở vị trí mà chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần (do lẻ), nên những ô này sau khi đổi dấu sẽ mang dấu (-).
*Ta có ô vuông mà lẻ, tức là sau khi đổi dấu theo quy tắc trên thì trên bảng còn lại dấu (+)
----HẾT---
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Binh Thuan 23 24