onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
BẮC NINH
NĂM HỌC 2023-2024
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
2. Vẽ đường thẳng là đồ thị hàm số . Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình .
2. Giải phương trình
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Cho tam giác nội tiếp đường tròn có ba góc nhọn, , hai đường cao và Các tiếp tuyến của tại và cắt nhau tại Gọi là giao điểm của và
a) Chứng minh rằng tam giác đồng dạng với tam giác từ đó suy ra tam giác đồng dạng với tam giác
b) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh rằng vuông góc với
2. Cho hình chữ nhật Lấy các điểm thuộc cạnh nằm giữa thuộc cạnh nằm giữa thuộc cạnh nằm giữa thuộc cạnh nằm giữa sao cho đôi một phân biệt và khác các đỉnh của hình chữ nhật đồng thời hình đa giác có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình đa giác là các số hữu tỉ (theo đơn vị cm) thì
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho các số nguyên dương thoả mãn
1. Chứng minh rằng chia hết cho 6.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 5. (1,5 điểm)
1. Cho các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng
2. Trên mặt phẳng cho 2008 điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng mỗi hình tròn có bán kính bằng 1 chỉ chứa không quá 5 điểm trong 2008 điểm đã cho.
====== HẾT ======
Họ và tên thí sinh: …………………………………………. Số báo danh: …………….
onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
(Hướng dẫn chấm có 06 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
2. Vẽ đường thẳng là đồ thị hàm số . Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng
1. Ta có
0,5
0,5
2. Vẽ đường thẳng là đồ thị hàm số .
Đường thẳng cắt trục tại cắt trục tại
0,5
Tính được Gọi là hình chiếu của trên Ta có
Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng là .
0,5
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình .
2. Giải phương trình
1. Xét hệ phương trình (1).
Nếu thì
(thoả mãn ).
0,5
Nếu thì (loại, vì không thoả mãn ).
Nếu thì từ (1) ta tính được .
Vậy hệ phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là và
0,5
2. Giải phương trình (2).
ĐK:. Ta có (2)
0,25
Đặt (với ) thì hay
Phương trình (2) trở thành
0,25
hoặc .
Kết hợp với điều kiện ta lấy .
0,25
Với thì
Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
0,25
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Cho tam giác nội tiếp đường tròn có ba góc nhọn, , hai đường cao và Các tiếp tuyến của tại và cắt nhau tại Gọi là giao điểm của và
a) Chứng minh rằng đồng dạng với từ đó suy ra đồng dạng với
b) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh rằng vuông góc với
2. Cho hình chữ nhật Lấy các điểm thuộc cạnh nằm giữa thuộc cạnh nằm giữa thuộc cạnh nằm giữa thuộc cạnh nằm giữa sao cho đôi một phân biệt và khác các đỉnh của hình chữ nhật đồng thời hình đa giác có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình đa giác là các số hữu tỉ (theo đơn vị cm) thì
1. Học sinh vẽ đúng hình để làm được ý a.
0,25
a. Ta có tại trung điểm của Nên
Mà sđ Suy ra đồng dạng với.
0,25
Hai tam giác đồng dạng nên
Tam giác vuông tại là trung tuyến nên
Suy ra .
0,25
Tam giác cân tại nên . Mặt khác

Từ (1), (2) suy ra hai tam giác đồng dạng.
0,25
b. Hai tam giác đồng dạng nên (3).
Mà tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên . Suy ra hai tam giác đồng dạng, dẫn tới
0,25
Ta có
Suy ra (5).
Từ (3) và (5) suy ra hai tam giác đồng dạng. Do đó
0,25
Từ (4) và (6) suy ra .
Mà .
0,5
2. Gọi (theo đơn vị cm, với là các số hữu tỉ dương).
Do các góc của hình bát giác bằng nhau nên mỗi góc trong của hình bát giác đó có số đo là .
0,25
Suy ra mỗi góc ngoài của hình bát giác này là
Do đó các tam giác là các tam giác vuông cân.
0,25
Ta có ; ; ; .
Vì nên .
0,25
Nếu thì , điều này vô lí, do là số vô tỉ, còn là số hữu tỉ. Vậy hay (đpcm).
0,25
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho các số nguyên dương thoả mãn
1. Chứng minh rằng chia hết cho 6.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
1. Từ giả thiết ta có
0,25
Tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên Tương tự Suy ra
0,25
Mà 17 và 6 nguyên tố cùng nhau nên
0,25
2. Ta có với
Vì nên , suy ra
0,25
Lúc này (1).
Từ suy ra
Do đó (2). Từ (1) và (2) suy ra (3).
0,25
Đẳng thức ở (3) xảy ra, chẳng hạn khi
là hoán vị của Vậy giá trị lớn nhất của là 60, đạt được chẳng hạn khi là hoán vị của
0,25
Câu 5. (1,5 điểm)
1. Cho các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng
2. Trên mặt phẳng cho 2008 điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng mỗi hình tròn có bán kính bằng 1 chỉ chứa không quá 5 điểm trong 2008 điểm đã cho.
1. Ta sẽ chứng minh (1).
Nếu thì (1) đúng.
Nếu thì
Ta có

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi
0,25
Từ (1) ta có
0,25
Lúc này

Suy ra (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi
0,25
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử tồn tại hình tròn tâm bán kính bằng 1 có thể chứa được điểm trong số 2008 điểm đã cho, . Gọi 6 điểm trong số điểm đó là
TH1: 1 điểm trong các điểm trùng với . Khi đó 5 điểm còn lại sẽ cách tâm một khoảng bé hơn hoặc bằng 1, mâu thuẫn với giả thiết.
0,25
TH2: các điểm không trùng tâm . Khi đó vẽ các bán kính đi qua 6 điểm trên.
Vì có 6 bán kính nên tồn tại 2 bán kính tạo thành một góc bé hơn hoặc bằng . Giả sử 2 bán kính và lần lượt đi qua và ,
0,25
Ta có
Suy ra một trong hai góc phải lớn hơn hoặc bằng . Không mất tính tổng quát giả sử , suy ra 
0,25
, mâu thuẫn với giả thiết.Từ hai trường hợp trên chứng tỏ không tồn tại hình tròn tâm bán kính bằng 1 chứa được nhiều hơn 5 điểm trong số 2008 điểm đã cho. Vậy mỗi hình tròn có bán kính bằng 1 chỉ chứa không quá 5 điểm trong 2008 điểm đã cho.

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Bac Ninh 23 24