onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 05/6/2023
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (5,0 điểm).
1.1. Rút gọn biểu thức với
1.2. Cho đường thẳng có phương trình: , là tham số. Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.
1.3. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Câu 2. (4,0 điểm).
2.1. Giải phương trình:
2.2. Giải hệ phương trình:
Câu 3. (4,0 điểm).
3.1. Tìm các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức dưới đây:
.
3.2. Trên mặt phẳng cho × điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ - xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.
Câu 4. (6,0 điểm). Cho đường tròn và dây cung cố định của đường tròn thỏa mãn Một điểm di chuyển trên sao cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại Đường phân giác của kéo dài về hai phía cắt và lần lượt tại và
4.1. Chứng minh tam giác cân tại
4.2. Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với
4.3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường phân giác trong của tại điểm thứ hai Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V (1,0 điểm). Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
----------------HẾT----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................................... Số báo danh: .......................................................
Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và chữ ký): ................................................................................................................................
Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và chữ ký): ................................................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG
NĂM HỌC 2023 - 2024
NGÀY THI: 05/6/2023
MÔN THI: TOÁN
(Bản hướng dẫn chấm có 06 trang)
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1
(5.0 đ)
1.1.
(2,0 điểm)
1.1. Rút gọn biểu thức với .

0.5

0.5

0.5
KL.
0.5
1.2.
(1,0 điểm)
1.2. Cho đường thẳng có phương trình: , là tham số. Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.
Chỉ ra đường thẳng luôn đi qua điểm
0.25
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng
Suy ra
0.25
Chỉ ra đường thẳng có phương trình là
0.25
Do nên . KL.
0.25
1.3
(2,0 điểm)
1.3. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0.25
0.25

0.25
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
0.25
Theo Vi ét, ta có:
0.25
Đặt ;
Ta có
Suy ra và luôn cùng dấu
0.25
Do đó


0.25


0.25
Câu 2
(4,0 đ)
2.1
(2,0 điểm)
2.1. Giải phương trình .
Điều kiện: .
Ta có:
0.5

0.5

0.5
. KL.
0.5
2.2
(2,0 điểm)
2.2. Giải hệ phương trình:
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
+) Với , thay vào (*) ta được (vô lý)
+) Với , thay vào (*) ta được
0.25
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
0.25
Câu 3
(4.0đ)
3.1
(2,0 điểm)
3.1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn phương trình sau


0.25
0.25

0.25

0.25

0.25
Vì nguyên dương nên ta có . Do đó:

0.25
Có mà nguyên dương nên ta có
0.25
KL: Các bộ số cần tìm là ;;;;;
0.25
3.2
(2,0 điểm)
3.2. Trên mặt phẳng cho × điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ - xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.
Xét tất cả các cách nốicặp điểm (đỏ với xanh) bằng đoạn thẳng. Các cách nối như vậy luôn luôn tồn tại và do chỉ có cặp điểm nên số tất cả các cách nối như vậy là hữu hạn.
Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất.
0.75
Ta chứng minh rằng đây là cách nối phải tìm.
Thật vậy; giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng và mà cắt nhau tại điểm (Giả sử và tô màu đỏ, còn và tô màu xanh). Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng và bằng hai đoạn thẳng và , các đoạn khác giữ nguyên thì ta có cách nối này có tính chất:
0.5
Như vậy; việc thay hai đoạn thẳng và bằng hai đoạn thẳng và , ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn. Vô lý, vì trái với giả thiết là đã chọn một cách nối có tổng các độ dài là bé nhất.
0.5
Điều vô lý đó chứng tỏ: Cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung.
0.25
Câu 4
(6.0 đ)
Cho đường tròn và dây cung cố định của đường tròn thỏa mãn Một điểm di chuyển trên sao cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại Đường phân giác của kéo dài về hai phía cắt và lần lượt tại và
4.1. Chứng minh tam giác cân tại
4.2. Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với
4.3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường phân giác trong của tại điểm thứ hai Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định.
4.1
(2.0 điểm)
4.1. Chứng minh tam giác cân tại .
Vì nên
Vì nên
0.5
(1)
0.5
Vì là phân giác của góc nên
Lại có (đối đỉnh) nên (2)
0.5
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy cân tại .
0.5
4.2
(2.0 điểm)
4.2. Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh . Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với .
Chỉ ra tứ giác nội tiếp nên (3)
Chỉ ra (cùng phụ với góc );
Lại có (đối đỉnh) ;
Chỉ ra tứ giác nội tiếp nên (4)
0.5
Từ (3) và (4) suy ra nên ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được thẳng hàng.
Vậy 4 điểm thẳng hàng.
0.5
Từ tứ giác nội tiếp chỉ ra
Lại có (cùng vuông góc với ) nên
0.5
Qua kẻ tiếp tuyến của suy ra (cùng bằng ½ sđ)
Suy ra
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên (đpcm)
0.5
4.3
(2.0 điểm)
4.3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường phân giác trong của tại . Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định.
Vì cân tại và là phân giác của góc nên là trung trực của
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
0.5
Gọi là hình bình hành
đi qua trung điểm của (5)
0.5
Từ ;
Vì là phân giác của góc nên là phân giác của góc
Từ ;
Vì là phân giác của góc nên
0.5
Chỉ ra ~(góc – góc)
(6)
Từ (5) và (6) suy ra luôn đi qua trung điểm của (cố định). KL.
0.5
Câu 5
Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
(1.0đ)
(1.0 điểm)
Từ giả thiết , ta có .
Đặt ;
Giả thiết trở thành:
Để ý rằng:

Lúc này ta có:

.
0.5
Theo bất đẳng thức Cô – si (AM-GM), ta có:
hay .
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của là đạt được khi và chỉ khi .
0.5
Tổng
Điểm toàn bài
20 đ
Lưu ý khi chấm bài:
* Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải. Lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ hợp logic. Nếu học sinh làm cách khác mà giải đúng thì cho điểm tối đa.
* Đối với câu IV, học sinh không vẽ hình thì không chấm.
* Điểm toàn bài không làm tròn.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Bac Giang 23 24