onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HẢI DƯƠNG NĂM HỌC: 2023 – 2024
Môn: TOÁN
Khoá thi ngày: 02/6/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: với .
2. Cho đường thẳng . Tìm và để đường thẳng song song với đường thẳng và đi qua điểm .
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Một đội công nhân phải trồng cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ?
2. Cho parabol và đường thẳng . Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn .
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác có ba góc nhọn và các đường cao cắt nhau tại .
1. Chứng minh rằng: .
2. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng: tứ giác nội tiếp.
3. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: .
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
---------------------------------@Hết@---------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.(3,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:
Lời giải
1.




Vậy phương trình có nghiệm: .
2.
Từ (1) ta có:
Thay vào (2) ta được:

Với thì .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Câu 2.(2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: với .
2. Cho đường thẳng . Tìm và để đường thẳng song song với đường thẳng và đi qua điểm .
Lời giải
1. với .
Vậy với thì .
2. Cho đường thẳng . Tìm và để đường thẳng song song với đường thẳng và đi qua điểm .
Vì song song nên
Thay toạ độ điểm vào phương trình ta được:
Với ta có
(thoả mãn điều kiện).
Vậy .
Câu 3. (2,0điểm)
1. Một đội công nhân phải trồng cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ?
2. Cho parabol và đường thẳng . Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn .
Lời giải
1. Gọi là số công nhân lúc đầu.
Số cây mỗi công nhân dự định phải trồng là ( cây).
Số cây mỗi công nhân còn lại phải trồng sau khi 4 người đi làm việc khác là ( cây).
Theo bài ta có phương trình:


Kết hợp điều kiện ta có .
Vậy lúc đầu đội có 12 công nhân.
2. Phương trình hoành độ giao điểm là
Để cắt tại hai điểm phân biệtphương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ta có
Theo Viét ta có
Theo đề bài ta có
Từ và ta có
Thay vào phương trình (2) ta được
Đối chiếu điều kiện ta có và .
Câu 4. ( 3,0 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn và các đường cao cắt nhau tại .
1. Chứng minh rằng: .
2. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng: tứ giác nội tiếp.
3. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: .
Lời giải
1. Theo bài ta có
Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp.
Suy ra
2. Tam giác vuông ADH có
Tam giác vuông BDC có
Cộng vế (1) và (2) ta có
Chứng minh tương tự ta có
Vậy suy ra tứ giác nội tiếp.
3. Ta có
Lại có
Nên đẳng thức cần chứng minh trở thành
Theo ý 2 ta có .
Mặt khác . Suy ra 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính . Vậy .
Lại có:
Từ và ta có .
Do đó đồng dạng với (g-g)
Suy ra . Vậy (*) được chứng minh.
Câu 5. ( 1.0 điểm) Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Trong 3 số luôn tồn tại ít nhất hai số cùng không âm hoặc không dương
Giả sử và cùng không âm hoặc không dương. Suy ra
Ta sẽ chứng minh
Thật vậy (Luôn đúng)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi
---------------------------------@Hết@---------------------------------
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De toan TS 10 HAI DUONG 23 24