SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TỈNH THANH HÓA Năm học: 2021 - 2022
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức , với
1. Rút gọn biểu thức .
2. Tìm các giá trị của để .
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng có phương trình là tham số). Tìm để đường thẳng đi qua điểm .
2. Giải hệ phương trình .
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình .
2. Cho phương trình ( là tham số). Tìm các giá trị của đề phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức .
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao thuộc thuộc thuộc ) của tam giác cắt nhau tại là trung điểm của cạnh .
1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh các đường thẳng và là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
3. Chứng minh .
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số thực thay đổi thỏa mãn các điều kiện và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
----------HẾT-----------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức , với
1. Rút gọn biểu thức .
Vậy với
2. Tìm các giá trị của để .
Ta có: với
Vày thỏa mãn yều cầu bài toán.
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng có phương trình là tham số). Tìm để đường thẳng đi qua điểm .
Vì nên thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có:
Vây .
2. Giải hệ phương trình .
Ta có:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình .
Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy phương trình có tập nghiệm .
2. Cho phương trình ( là tham số). Tìm các giá trị của đề phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức .
Phương trình có .
Phương trình đã cho có nghiệm .
Khi đó theo định li Vi-ét ta có:
Do là nghiệm của phương trình nên ta có:
Theo bài ra ta có:
Thay vào (1) ta được:
Vậy .
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao thuộc thuộc thuộc ) của tam giác cắt nhau tại là trung điểm của cạnh .
1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác AEHF có:
Mà hai góc này đối diện nhau trong tứ giác nên tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm đường kính (dhnb).
2. Chứng minh các đường thẳng và là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
Gọi là trung điểm của suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
cân tại (tính chất tam giác cân).
Mà (đối đinh)
Do vuông tại là trung điểm của nên (định li đường trung tuyến trong tam giác vuông) cân tại (2)
Cộng (1) với (2) ta được: (Do tam giác vuông tại ).
Suy ra: hay .
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
Chứng minh tương tự ta được là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
3. Chứng minh .
Giả sử .
Dễ dàng chứng minh được các tứ giác là các tứ giác nội tiếp nên ta có:
Xét và có:
chung;
(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp )
Chứng minh tương tự ta có
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
Vì
Không mất tính tổng quát, ta giả sử , khi đó ta cần chứng minh .
Áp dụng định lí Pytago ta có: .
Mà
đúng nên giả sử ban đầu là đúng.
Vậy .
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số thực thay đổi thỏa mãn các điều kiện và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
(Bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh tương tự ta có:
Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta được:
Vậy Dấu = xảy ra .

onthicaptoc.com Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2021 2022 tỉnh Thanh Hóa kèm đáp án chi tiết