SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2021-2022
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian phát đề)
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI
Câu 1. (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: .
b) Giải hệ phương trình: .
Câu 2. (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: , với , .
b) Cho hàm số bậc nhất . Xác định hệ số , biết đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng : tại điểm có tung độ bằng .
Câu 3. (2,0 điểm):
a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi . Nếu tăng chiều dài lên và giảm chiều rộng đi thì diện tích mảnh đất tăng thêm . Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.
b) Cho phương trình (với là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và với mọi . Tìm các giá trị của tham số sao cho: .
Câu 4. (3,0 điểm):
1. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn và hai đường cao , cắt nhau tại (, ).
a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: .
2. Cho tam giác có , là các góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 5. (1,0 điểm):
Cho các số thực dương , thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
----------------------------HẾT----------------------------
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1. (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: .
Ta có: .
Vì nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
b) Giải hệ phương trình: .
Ta có
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Câu 2. (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: , với , .
Với ta có:
Vậy với thì .
b) Cho hàm số bậc nhất . Xác định hệ số , biết đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng : tại điểm có tung độ bằng .
Thay vào phương trình đường thẳng ta có .
Do đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm .
Thay vào hàm số ta có .
Vậy .
Câu 3. (2,0 điểm):
a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi . Nếu tăng chiều dài lên và giảm chiều rộng đi thì diện tích mảnh đất tăng thêm . Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.
Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là (ĐK: ).
Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là:
Chiều rộng mảnh đắt hình chữ nhật ban đầu là:
Khi tăng chiều dài lên thì độ dài chiều dài là:
Khi giảm chiều rộng đi thì độ dài chiều rộng là:
Chiều rộng hình chữ nhật là: .
Vậy chiều dài và chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là và .
b) Cho phương trình (với là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và với mọi . Tìm các giá trị của tham số sao cho: .
Ta có: (1)
Phương trình (1) có:
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .
Khi đó theo định li Vi-ét ta có:
Theo giả thiết ta có:
Vậy có 2 giá trị của thỏa mã yêu cầu bải toán là và .
Câu 4. (3,0 điểm):
1. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn và hai đường cao , cắt nhau tại (, ).
a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có: là đường cao của tam giác nên .
nội tiếp một đường trỏn (tứ giác có 2 đinh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)
b) Chứng minh rằng: .
Gọi là giao điểm của và .
Ta có: (do tam giác cân tại ).
Mà (2) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ).
(3) (góc ngoải và góc trong tại đinh đối diện của tứ giác nội tiếp ).
Từ , (3) ta được:
Vậy (đpcm).
2. Cho tam giác có , là các góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Kẻ đường cao . Vì là các góc nhọn nên thuộc đoạn thẳng .
Áp dụng định lí Pytago ta có:
Ta có .
Do đó .
Dấu = xảy ra khi cân tại .
Câu 5. (1,0 điểm):
Cho các số thực dương , thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
ĐKXĐ:
Đặt ta có:
do
Khi đó biểu thức trở thành:
Vì nên
Do đó Dấu = xảy ra .
Vậy GTLN của bằng đạt được khi

onthicaptoc.com Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2021 2022 tỉnh Hải Dương kèm đáp án chi tiết