SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Năm học: 2021 - 2022
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Tính
2) Cho biểu thức với .
Rút gọn và tìm tất cả các giá trị nguyên của để .
Bài 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng .
a) Vẽ đồ thị . Chứng minh rằng luôn đi qua điểm
b) Gọi là hình chiếu của điểm trên . Chứng minh rằng khi thay đổi thì diện tích tam giác không vượt quá ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét).
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình , với là tham số.
a) Giải phương trình khi
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Bài 4. (1,5 điểm)
1) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng 15.
2) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-COV-2 cho 12000 người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1000 người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ?
Bài 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là trung điểm của Đường tròn đường kính cắt tại điểm ( khác ). Chứng minh rằng .
c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại Chứng minh rằng và đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác song song với đường thẳng
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Hướng dẫn giải:
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Tính
2) Cho biểu thức với .
Rút gọn và tìm tất cả các giá trị nguyên của để .
Lời giải
1) Tính
Ta có:
2) Với .
Vậy với thì
Xét
Mà và nên
Bài 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng .
a) Vẽ đồ thị . Chứng minh rằng luôn đi qua điểm
b) Gọi là hình chiếu của điểm trên . Chứng minh rằng khi thay đổi thì diện tích tam giác không vượt quá ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét).
Lời giải
a) Vẽ đồ thị . Chứng minh rằng luôn đi qua điểm
* Vẽ đồ thị
x
-2
-1
0
1
2
y
4
1
0
1
4
Vậy đồ thị là parabol đi qua các điểm .
* Chứng minh rằng luôn đi qua điểm
Giả sử
( đúng)
Vậy luôn đi qua điểm
b)
Ta có: là hình chiếu của điểm trên ( vì )
vuông tại ( định lý pytago)
Có:
Áp dụng bất đẳng thức , ta được:

Mà
Thay vào ta được:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy khi thay đổi thì diện tích tam giác không vượt quá
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình , với là tham số.
a) Giải phương trình khi
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Lời giải
a) Với thì phương trình trở thành:
Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là .
b) Phương trình có nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Theo định lí Vi-et ta có:
Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:

Mà theo bài có:
Thay , vào ta được:
Vậy
Bài 4. (1,5 điểm)
1) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng 15.
2) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-COV-2 cho 12000 người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1000 người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ?
Lời giải
1) Gọi số lớn là , số bé là .
Tổng của hai số là 2021 nên ta có phương trình:
Hiệu của số lớn và số bé bằng 15 nên ta có phương trình:
Từ , ta có hệ phương trình:
Vậy số lớn là 1018, số bé là 1003.
2) Gọi số người được xét nghiệm trong một giờ theo dự định là (người)
Theo kế hoạch, thời gian để địa phương đó xét nghiệm hết 12000 người là ( giờ)
Thực tế, số người được xét nghiệm trong một giờ là (người)
Thực tế, thời gian địa phương đó xét nghiệm hết 12000 người là ( giờ)
Do địa phương hoàn thành kế hoạch sớm hơn 16 giờ nên ta có phương trình:
Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần (giờ) để xét nghiệm xong.
Bài 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là trung điểm của Đường tròn đường kính cắt tại điểm ( khác ). Chứng minh rằng .
c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại Chứng minh rằng và đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác song song với đường thẳng
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác có:
(BD là đường cao)
(CE là đường cao)
, mà hai góc này kề nhau cùng nhìn đoạn một góc bằng .
là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
Xét tứ giác có:
(gt)
, mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
(góc nội tiếp cùng chắn )
Ta có: tứ giác nội tiếp (cma) (góc ngoài của tứ giác nội tiếp)
Từ , hay
Xét và có:
chung
(cmt)
(g - g)
(đpcm)
c)
Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp cùng chắn )
Mà (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác )
Lại có: (kề bù),mà hai góc này ở vị trí đối nhau
là tứ giác nội tiếp
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Lại có: (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) cân tại .
(hai góc ở đáy của tam giác cân)
Từ , hay
Xét và có:
chung
(cmt)
(g- g)
(hai góc tương ứng) (đpcm)
Ta có: (cmb) hay
Mà: (kề bù),mà hai góc này ở vị trí đối nhau
là tứ giác nội tiếp
Ta có hai tứ giác là các tứ giác nội tiếpĐường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Mà giao của hai tứ giác là

Gọi
Xét tứ giác có: , mà hai góc này ở vị trí kề nhau
là tứ giác nội tiếp.
(góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Lại có: (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) cân tại .
hay
Mà (cùng phụ với )

Từ ,,
Xét và có:
chung;
(Cmt)
(g - g)
Có: (cmt)
Mà (cmt)
(c-g-c) (hai góc ương ứng)
là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có goc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện).
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
hay
Từ ,
Vậy đường tròn nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác song song với .

onthicaptoc.com Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2021 2022 tỉnh Đà Nẵng kèm đáp án chi tiết