SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18 tháng 7 năm 2020
Câu I (2,0 điểm)
1. Cho là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Chứng minh rằng trong ba số có ít nhất một số bằng .
2. Cho là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tính giá trị của biểu thức:
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình .
2. Giải hệ phương trình
Câu III (2,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .
2. Chứng minh rằng nếu ( với , , là các số tự nhiên thỏa mãn , ) thì chia hết cho 6.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn có . Vè phía ngoài tam giác dựng các hình vuông và . Đường thẳng cắt đoạn thẳng tại , đường thẳng cắt đoạn thẳng tại .
1. Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
3. Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại ( khác). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại và cắt nhau tại . Chứng minh bốn điểm thẳng hàng.
Câu V (2,0 điểm)
Trên một đường tròn người ta lấy điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xem kẻ nhau. Tại mỗi điểm người ta ghi một số thực khác và sao cho quy tắc sau được thỏa mãn “số tại mỗi điểm màu xanh bằng tổng hai số ghi tại mỗi điểm màu đỏ kề nó, số ghi tại mỗi điểm màu đỏ bằng tích hai số ghi tại mỗi điểm màu xanh kề nó”. Tính tổng số đó.
--- HẾT ---
LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: TOÁN CHUYÊN
Câu I.1. Cho EMBED Equation.DSMT4 là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện EMBED Equation.DSMT4 và EMBED Equation.DSMT4 . Chứng minh rằng trong ba số EMBED Equation.DSMT4 có ít nhất một số bằng EMBED Equation.DSMT4 .
Lời giải
Xét tích
Từ
Suy ra .
Vậy trong ba số có ít nhất một số bằng .
Câu I.2. Cho EMBED Equation.DSMT4 là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện EMBED Equation.DSMT4 và EMBED Equation.DSMT4 . Tính giá trị của biểu thức :
EMBED Equation.DSMT4 .
Lời giải
Ta thấy, với ba số tùy ý thì
Do đó, nếu thì .
Đặt từ giả thiết suy ra . Theo trên suy ra .
Mặt khác, theo giả thiết ta có suy ra .
Vậy hoặc hoặc .
Nếu , khi đó .
Tương tự nếu hoặc thì cũng suy ra .
Vậy .
Câu II.1. Giải hệ phương trình EMBED Equation.DSMT4 .
Lời giải
Điều kiện xác định
- Nếu thì phương trình vô nghiệm do hai vế trái dấu
- Nếu thì phương trình tương đường với .
.
Đặt phương trình trở thành (do )
Khi đó .
Kết hợp điều kiện thì có và là các giá trị thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Câu II.2. Giải hệ phương trình EMBED Equation.DSMT4
Lời giải
Nhân phương trình đầu với rồi trừ đi phương trình thứ hai vế với vế ta được
.
- Nếu , thay vào phương trình đầu ta được
Với suy ra , nên hệ phương trình có nghiệm .
Với suy ra , nên hệ phương trình có nghiệm .
- Nếu , thay vào phương trình đầu ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là
, , , .
Câu III.
1. Tìm các cặp số nguyên EMBED Equation.DSMT4 thỏa mãn EMBED Equation.DSMT4 .
2. Chứng minh rằng nếu EMBED Equation.DSMT4 ( với EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 là các số tự nhiên thỏa mãn EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) thì EMBED Equation.DSMT4 chia hết cho 6.
Lời giải
1.
TH1: thì mọi giá trị đều thỏa mãn.
TH2: , ta có , mà là số nguyên nên và là hai số chính phương liên tiếp. Suy ra không tồn tại số nguyên thỏa mãn.
TH3: , ta có , mà là số nguyên nên và là hai số chính phương liên tiếp. Suy ra không tồn tại số nguyên thỏa mãn.
TH4: .
TH5: .
TH6: .
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là , , và
2. Vì mà nên có tận cùng là .
Đặt ( với , là các số tự nhiên thỏa mãn ), khi đó
TH1: có tận cùng là 6, suy ra (1).
TH2: thì có tận cùng bằng 0 ( vì có tận cùng bằng ). Suy ra có tận cùng là , hay . Khi đó (2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
Câu IV. Cho tam giác EMBED Equation.DSMT4 nhọn có EMBED Equation.DSMT4 . Vè phía ngoài tam giác EMBED Equation.DSMT4 dựng các hình vuông EMBED Equation.DSMT4 và EMBED Equation.DSMT4 . Đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 cắt đoạn thẳng EMBED Equation.DSMT4 tại EMBED Equation.DSMT4 , đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 cắt đoạn thẳng EMBED Equation.DSMT4 tại EMBED Equation.DSMT4 .
1. Chứng minh tứ giác EMBED Equation.DSMT4 nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Gọi EMBED Equation.DSMT4 là trung điểm của đoạn thẳng EMBED Equation.DSMT4 . Chứng minh EMBED Equation.DSMT4 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EMBED Equation.DSMT4 .
3. Đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 cắt đường thẳng EMBED Equation.DSMT4 tại EMBED Equation.DSMT4 . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác EMBED Equation.DSMT4 và EMBED Equation.DSMT4 cắt nhau tại EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 khác EMBED Equation.DSMT4 ). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMBED Equation.DSMT4 tại EMBED Equation.DSMT4 và EMBED Equation.DSMT4 cắt nhau tại EMBED Equation.DSMT4 . Chứng minh bốn điểm EMBED Equation.DSMT4 thẳng hàng.
Lời giải
1.
Xét hai tam giác vuông và ta có và (cùng phụ với ) nên chúng đồng dạng, suy ra .
Xét hai tam giác và có (đối đỉnh) và do nên chúng đồng dạng, suy ra .
Do đó tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và .
Tứ giác có nên nó là hình bình hành.
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng . Suy ra ba điểm thẳng hàng.
Mặt khác, ta thấy tứ giác có nên nó nội tiếp được trong đường tròn đường kính . Suy ra hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
3.
Ta chứng minh thẳng hàng
Gọi là giao điểm của và . Dẽ thấy tứ giác nên .
Lại có (Do tứ giác nội tiếp), suy ra .
Do đó tứ giác nội tiếp.
Mặt khác, do nội tiếp nên năm điểm cùng thuộc một đường tròn. Vậy thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác .
Chứng minh tương tự ta có cũng thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác .
Suy ra . Vậy ba điểm thẳng hàng (1).
Ta chứng minh thẳng hàng
Do năm điểm cùng thuộc một đường tròn nên , suy ra . Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp nên .
Tương tự ta có , suy ra (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). Suy ra tứ giác nội tiếp.
Mặt khác nên tứ giác nội tiếp.
Do đó năm điểm cùng thuộc một đường tròn nên ta có , suy ra .
Mà , suy ra ba điểm thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra bốn điểm thẳng hàng.
Trên một đường tròn người ta lấy EMBED Equation.DSMT4 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xem kẻ nhau. Tại mỗi điểm người ta ghi một số thực khác EMBED Equation.DSMT4 và EMBED Equation.DSMT4 sao cho quy tắc sau được thỏa mãn “số tại mỗi điểm màu xanh bằng tổng hai số ghi tại mỗi điểm màu đỏ kề nó, số ghi tại mỗi điểm màu đỏ bằng tích hai số ghi tại mỗi điểm màu xanh kề nó”. Tính tổng EMBED Equation.DSMT4 số đố.
Lời giải
Theo chiều kim đồng hồ ta gọi là hai số ghi tại hai điểm màu xanh liên tiếp nào đó trên đường tròng ( khác và ). Khi đó số ghi tại điểm màu đỏ nằm giữa hai điểm màu xanh nói trên là . Theo quy tắc ghi số đã cho, năm điểm liên tiếp tiếp theo sễ được ghi năm số lần lượt là (xem hình trên)
.
Tổng các số ghi tại điểm trên là
.
Cũng theo quy tắc ghi số này, dễ suy ra điểm thứ được tô màu xanh và tại đó ghi . Từ đó suy ra điểm thứ được tô màu đỏ và ghi số , điểm thứ được tô màu xanh và ghi số .
Như vậy, bộ điểm tiếp theo được lặp lại như bộ điểm đầu tiên.
Do đó, số đã ghi được chia thành nhóm, mỗi nhóm gồm số theo quy luật trên.
Vậy tổng số ghi trên đường tròn là .
- Trang | 1-

onthicaptoc.com Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2020 2021 THPT chuyên Lam Sơn có đáp án