SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2018
Câu I: (2,0 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức: .
2. Cho hai số thực , lần lượt thỏa mãn các hệ thức và . Chứng minh .
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: .
2. Giải hệ phương trình:
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:
2. Cho là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên dương đặt . Chứng minh .
Câu IV: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn có . Gọi lần lượt là chân các đường cao kẻ từ của tam giác, là giao điểm của các đường thẳng và Đường thẳng qua song song với lần lượt cắt các đường thẳng tại .
1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh và là trung điểm của
3. Khi cố định và điểm thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn các điều kiện trên, chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1,0 điểm)
Một giải đấu bóng chuyền có đội tham gia (), luật đấu như sau: Mỗi đội đấu với tất cả các đội khác đúng một trận. Sau một trận đấu, đội thắng được 2 điểm, đội thua được 0 điểm; còn nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm.
Sau giải đấu các đội xếp hạng theo điểm số từ cao xuống thấp (hai đội bằng điểm nhau xếp cùng hạng). Hỏi sự chênh lệch về điểm lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ hạng liền nhau là bao nhiêu?
------------ Hết ------------
Họ và tên thí sinh: ........................................................................................ Số báo danh: ............................................
Chữ ký giám thị 1: ............................................................... Chữ ký giám thị 2: ...............................................................
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu I.1.
Với , ta có:
Từ đó suy ra:
Cho các giá trị từ rồi nhân các biểu thức ta được:
.
Vậy .
Câu I.2.
Ta có: và
Cộng từng vế của hai biểu thức trên ta được: .
Đặt đẳng thức trở thành:
(do )
Vậy
Câu II.1.
Điều kiện xác định: .
Ta có:
Đặt (điều kiện ).
Phương trình trở thành (do )
Khi đó :
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Câu II.2.
Điều kiện xác định:
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
Từ (2) ta có:
+Với , thay vào (1) suy ra .
Từ đó suy ra hệ có các nghiệm: ; (thỏa mãn điều kiện)
+Với , thay vào (1) suy ra (vô nghiệm).
Vậy hệ có 2 nghiệm: ; .
Câu III.1.
Giả sử là cặp số nguyên thỏa mãn phương trình đã cho.
Đặt ta có thỏa mãn .
Ta thấy: và
+) Nếu hoặc thì . Suy ra:
điều này không thể xảy ra vì .
+) Nếu , vì suy ra .
Với
Với
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là và .
Câu III.2.
Ta có .
Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng tỏ .
Ta có nhận xét sau: Với nguyên dương bất kì thì .
Thật vậy :
.
Xét hai trường hợp:
+) Nếu lẻ: Từ nhận xét trên ta có


Mặt khác và nguyên tố cùng nhau nên .
+) Nếu chẵn: Ta có



Suy ra .
Vậy .
Câu IV.1.
Do nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
Do tứ giác BCEF nội tiếp nên .
Do QR song song với EF nên .
Từ đó suy ra hay tứ giác BQCR nội tiếp.
Câu IV.2. Gọi là trực tâm tam giác . Dễ thấy tứ giác nội tiếp. Suy ra .
Tương tự . Mà (cùng phụ với ).
Suy ra , hay là đường phân giác trong góc của tam giác .
Theo tính chất đường phân giác ta có : .
Mặt khác nên là phân giác ngoài của , nên .
Suy ra : .
Chứng minh tương tự ta có là phân giác góc , hay .
Mà (so le trong do )
Vậy hay tam giác cân tại
Ta lại có, do tính chất phân giác ngoài nên
Mà (đồng vị). Suy ra tam giác cân tại
Từ đó suy ra , hay là trung điểm .
Câu IV.3.
Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua cố định.
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên (4)
Theo câu 2) ta có
Do là trung điểm và nên .
Do đó (5)
Từ (4) và (5) ta được .
Suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC cố định.
Câu V.
Kí hiệu là đội bóng thứ và là điểm số của đội sau giải đấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử .
Xét các hiệu , ta có .
Giả sử đội xếp hạng và đội xếp hạng có chênh lệch điểm lớn nhất, nghĩa là hiệu lớn nhất trong số các hiệu trên.
Ta có nhận xét: Sau mỗi trận đấu, dù kết quả thế nào, tổng số điểm của hai đội tham gia thi đấu đều bằng 2.
Chia các đội bóng làm hai nhóm. Nhóm 1 gồm các đội và nhóm 2 gồm các đội còn lại .
Khi đó đội trong nhóm 1 đấu với nhau trận và nhận điểm. Ngoài ra các đội thuộc nhóm 1 đấu với các đội thuộc nhóm 2 tất cả trận và nhận không quá điểm (vì trong số trận này có thể có các trận mà đội thuộc nhóm 1 thua). Do đó tổng điểm mà đội nhóm 1 nhận được không quá .
Từ đó suy ra (1)
Lại có: Các đội thuộc nhóm 2 đấu với nhau trận và nhận điểm. Do đó số điểm của đội sẽ lớn hơn hoặc bằng , hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: .
Dấu ‘=’ xảy ra khi đội vô địch thắng tất cả các đội và được điểm, tất cả các đội còn lại khác đều hòa nhau (và thua đội vô địch), mỗi đội nhận điểm. Vậy .

onthicaptoc.com Đề thi và đáp án kỳ thi tuyển sinh thi vào lớp 10 chuyên tỉnh THANH HÓA 2018 2019