SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
NĂM HỌC 2018-2019
Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2018
Môn thi: TOÁN ( CHUYÊN TOÁN)
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thởi gian phát đề)
Câu 1: ( 1,5 điểm)
a) Cho các biểu thức và Tìm số nguyên sao cho và là các số nguyên, đồng thời là ước của
b) Cho Tính giá trị biểu thức theo
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho parabol và đường thẳng Gọi là các giao điểm của và Tìm tọa độ điểm trên trục tung sao cho có giá trị nhỏ nhất.
b) Giải hệ phương trình
Câu 3: ( 1,5 điểm)
a) Xác định các giá trị của để phương trình ( là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
b) Giải phương trình
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm có ba đường cao là và trực tâm là Gọi là giao điểm của với và lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ đến
a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Câu 5: ( 2 điểm)
a) Cho là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
b) Cho số tự nhiên và các số nguyên thỏa mãn Tìm giá trị của sao cho là số chính phương lớn nhất.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………………………..Số báo danh: ……………………..
LỜI GIẢI THAM KHẢO CHO HỌC SINH
GV: ĐỖ CAO LONG. TP HUẾ
1a) Cho các biểu thức và
Tìm số nguyên sao cho và là các số nguyên, đồng thời là ước của
Giải:
Ta có
Suy ra nguyên là các ước nguyên dương của 12

Ta có
Vậy
1b) Cho Tính giá trị biểu thức theo
Giải:
Lời giải 1:
1) Nếu thì và
2) Nếu thì
Khi đó:
Từ hai trường hợp trên suy ra
Lời giải 2:
Ta có

2a) Cho parabol và đường thẳng Gọi là các giao điểm của và Tìm tọa độ điểm trên trục tung sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ của và là nghiệm của phương trình:
Phương trình này có hai nghiệm: và
Suy ra
Dễ thấy hai điểm cùng nằm về một phía so với trục tung. Lấy điểm đối xứng với qua trục tung. Khi đó , nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi thẳng hàng, tức là khi là giao điểm của đường thẳng với trục tung.
Phương trình đường thẳng đi qua và có dạng
Ta có hệ Suy ra
Vậy
2b) Giải hệ phương trình
Giải:
Ta có:




@ Trường hợp thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm:
@ Trường hợp thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm:
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
3a) Xác định các giá trị của để phương trình ( là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Giải:
Điều kiện để phương trình ( là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt là:

Khi đó
Trường hợp 1: ta có:
, vô nghiệm.
Trường hợp 2: ta có:
Vậy
3b) Giải phương trình
Giải:
Ta có
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
(2)
Mà và nên (2) trở thành:

Trường hợp , ta có
Trường hợp , ta có

Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm:
4) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm có ba đường cao là và trực tâm là Gọi là giao điểm của với và lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ đến
4a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Giải:
Ta có
Suy ra các tứ giác nội tiếp.
Suy ra: (cùng chắn cung trong đường tròn ) (1)
(cùng chắn cung trong đường tròn ) (2)
(cùng chắn cung trong đường tròn ) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra nên là đường phân giác trong góc của tam giác (4)
Tương tự, ta chứng minh được: lần lượt là đường phân giác trong của các góc của tam giác (5).
Từ (4), (5) suy ra là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
4b) Chứng minh
Gọi là giao điểm của tia với đường tròn
Ta có: nên
Tương tự, ta có
Suy ra là hình bình hành.
Ta có: (cùng chắn cung ), (cùng chắn cung ) nên hai tam giác đồng dạng. Do đó, hai tam giác đồng dạng.
Suy ra (6)
Mặt khác: (cùng vuông góc với ), (cùng vuông góc với ), suy ra
(7)
Từ (6), (7) suy ra
4c) Chứng minh
Hai tam giác vuông và đồng dạng nên ta có (8)
Hai tam giác vuông và đồng dạng nên ta có (9)
Từ (8), (9) suy ra: (10)
Ta có suy ra hai tam giác vuông và đồng dạng nên ta có (11)
Tương tự: suy ra hai tam giác vuông và đồng dạng nên ta có (12)
Từ (11), (12) suy ra (13)
Từ (10), (13) suy ra:
5a) Cho là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
Giải:
Ta có
Với hai số thực không âm ta có
Dấu = xảy ra khi
Áp dụng kết quả trên, ta có:
(1)
Dấu = xảy ra khi
Trương tư, ta có: (2)
Dấu = xảy ra khi
Và (3)
Dấu = xảy ra khi
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
Dấu = xảy ra khi
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
5b) Cho số tự nhiên và các số nguyên thỏa mãn Tìm giá trị của sao cho là số chính phương lớn nhất.
Giải:
Ta có:
Với:

Suy ra
Do đó, là số chính phương khi và chỉ khi là số chính phương.
Nghĩa là tồn tại số tự nhiên sao cho
Ta có
Nếu lẻ thì Khi đó vô lí (vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Từ đó suy ra là số chẵn.
Đặt Ta có
Vì và nên ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: không có giá trị của thỏa mãn trường hợp này.
Trường hợp 2:
Từ giả thiết, ta có Không mất tổng quát, giả sử suy ra
Giải hệ ta được hoặc
Nếu thì
Nếu thì
Vậy
----- HẾT -----

onthicaptoc.com Đề thi và đáp án kỳ thi tuyển sinh thi vào lớp 10 chuyên tỉnh HUẾ 2018 2019