BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
CỘNG HÒA XA HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm sao cho đúng với mọi giá trị
Bài 2. (3,0 điểm)
a) Trong hệ trục tọa độ cho hai đường thẳng và là tham số). Tìm các giá trị của để hai đường thẳng và là song song.
b) Cho phương trình: là tham số). Tìm các giá trị của để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn:
c) Hai ô tô cùng khởi hành một lúc trên quãng đường từ A đến dài . Vì mỗi giờ ô tô thứ nhát chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là nên đến trước ô tô thứ hai là giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của mỗi ô tô là không đổi trên cả quãng đường
Bài 3. (1,5 điểm)
Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng : đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in đậm vẽ trong hình bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là Em hãy giúp bác An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (B là tiếp điểm) và đường kính Trên đoạn thẳng lấy điểm (khác C và O). Đường thẳng cắt tại hai điểm và (nằm giữa A và E). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
a) Chứng minh
b) Đường thẳng đi qua điểm song song với cắt tại điểm Chứng minh
c) Tia cắt tại điểm tia cắt tại điểm Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
Bài 5. (0,5 điểm) Tìm các số thực thỏa mãn các điều kiện sau:

ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) Rút gọn biểu thức
Với ta có:
Vậy .
b) Tìm sao cho đúng với mọi giá trị
Điều kiện: Ta có:
Vì nên
Do đó thì
Vậy
Bài 2.
a) Tìm các giá trị của để hai đường thẳng song song
Ta có hai đường thẳng và song song
Vậy thì đường thẳng và song song.
b) Tìm m để
Xét phương trình: , ta có:
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
Áp dụng hệ thức Vi et ta có:
Vì là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
Theo đề bài ta có:
Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán
c) Tính vận tốc mỗi ô tô
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường là
Vận tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc của ô tô thứ hai là Vận tốc của ô tô thứ hai là :
Thời gian của ô tô thứ hai đi hết quãng đường là :
Vì ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là nên ta có phương trình:
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là và vận tốc của ô tô thứ hai:
Bài 3. Tính độ dài cạnh và diện tích lớn nhất
Gọi đường kính của nửa hình tròn là Bán kính của nửa đường tròn
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật:
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là
Độ dài nửa đường tròn phía trên:
Khi đó ta có tổng độ dài các khuôn gỗ:
Diện tích của cửa số:
Dấu xảy ra
Vậy khi cửa sổ có diện tích lớn nhất thì độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là: và cạnh bên của hình chữ nhật là
Bài 4.
a) Chứng minh
Xét và có: chung; (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn
(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )
b) Chứng minh
Vì là trung điểm của nên (tính chất đường kính và dây cung)
Xét tứ giác có : (do là tiếp tuyến của
là tứ giác nội tiếp
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH)
Mà (so le trong do
Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn (hai góc nội tiếp cùng chắn cung . Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau
c) Chứng minh là hình chữ nhật
Kẻ tiếp tuyến với đường tròn
Xét tứ giác có: là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung
Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)(hai góc nội tiếp cùng chắn
Mà (đối đỉnh)(hai góc nội tiếp cùng chắn
Xét và có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
(hai góc tương ứng)
Từ (1) và (2)
là góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn (O) nên là đường kính của
là trung điểm của
Xét tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. Lại có: nên là hình chữ nhật
Bài 5.
Ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta được :
Dấu xảy ra
Vậy có duy nhất 1 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán

onthicaptoc.com Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2020 2021 ĐH Sư Phạm Hà Nội có đáp án