SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 06/6/2018
Môn thi: Toán (Hệ chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (2.5 điểm)
a. Cho hãy rút gọn biểu thức .
b. Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện .
c. Cho là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng .
Bài 2. (1.5 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 81.
b. Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.
Bài 3. (2.0 điểm)
a. Giải phương trình
b. Giải hệ phương trình .
Bài 4. (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC (M khác B và C), N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Gọi H, I lần lượt là giao điểm của AM với BN, DC.
a. Chứng minh tứ giác AHND nội tiếp và MN vuông góc với BI.
b. Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn MN ngắn nhất.
c. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại P (P khác D). Gọi S là giao điểm của AP và BD. Chứng minh SM song song AC.
Bài 5. (1.0 điểm) Trên biểu tượng Olympic có 9 miền được ký hiệu (như hình minh họa). Người ta điền 9 số vào 9 miền trên sao cho mỗi miền được điền bởi một số, miền khác nhau được điền bởi số khác nhau và tổng các số trong cùng một hình tròn đều bằng 14.
a. Tính tổng các số trong các miền b, d, f và h.
b. Xác định cách điền thỏa mãn yêu cầu trên.
HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi: 06/6/2018
Môn: Toán (Hệ chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1. (2.5 điểm)
a. Cho hãy rút gọn biểu thức sau
b. Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện .
c. Cho là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng .
Tóm tắt cách giải
Điểm
1.a. Rút gọn biểu thức sau
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
1.b. Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện .
Phương trình viết lại x2 - 4yx + 5y2 + 2y - 3=0
Phương trình có nghiệm khi ’= -y2 - 2y + 30
.
Vì y lớn nhất nên y = 1
Vậy (x,y) = (2; 1)
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
1.c. Cho là các số thực khác 0 thỏa điều kiện . Chứng minh rằng .
Cộng theo vế ta được a + b + c = 0.
(1)+(2) ta được a + b = c2-a2 = (c-a)(c+a) = (-b).(c-a) hay –c = (-b).(c-a)
Tương tự ta có –b = (-a)(b-c) và –a = (-c)(a-b).
Nhân theo vế các đẳng thức trên ta được
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 2. (1.5 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 81.
b. Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.
Tóm tắt cách giải
Điểm
2.a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 81.
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để ,
suy ra hay
=> n=3k khi đó
mà nên
Nhưng không chia hết cho 3 với mọi k.
Vậy với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 81.
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
2.b. Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.
Giả sử số cần tìm là => = 99(
TH1. m3 kiểm tra trực tiếp suy ra vô nghiệm.
TH2. m5
Ta luôn có suy ra
Do đó khi m 5 thì bất đẳng thức trên không còn đúng.
TH3. m = 4
Suy ra
hay
do nên a1=1.
Khi đó
Suy ra hay a2 = 7, a4 = 2, a3 = 8 và a1 = 1.
Vậy số cần tìm là 1782.
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 3. (2.0 điểm)
a. Giải phương trình
b. Giải hệ phương trình
Tóm tắt cách giải
Điểm
3.a. Giải phương trình
Điều kiện:
Ta viết lại
Mà phương trình
vô nghiệm, nên nghiệm của phương trình ban đầu là x= 0 (thỏa điều kiện).
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
3.b. Giải hệ phương trình
Hệ viết lại thành
Đặt khi đó ta có hệ .
Giải hệ phương trình ta được a = 2 và b = 0.
Với suy ra hoặc .
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 4. (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC (M khác B và C), N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Gọi H, I lần lượt là giao điểm của AM với BN, DC.
a. Chứng minh tứ giác AHND nội tiếp và MN vuông góc với BI.
b. Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn MN ngắn nhất.
c. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại P (P khác D). Gọi S là giao điểm của AP và BD. Chứng minh SM song song AC.
Tóm tắt cách giải
Điểm

4.a.
Ta có: BM = CN, AB = BC,
Nên (c.g.c)
Mà
Suy ra , hay tứ giác ADNH nội tiếp
IHBN
Ta có BCCD (gt) BCNI
Do đó M là trực tâm của tam giác BIN nên NMBI (đpcm).
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
4.b. Đặt AB = a, BM = x MC = a – x
Ta có vuông tại C
MN2 = CM2 + NC2
= (a – x)2+ x2 = 2x2 – 2ax2 + a2
=

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Suy ra MN
Do đó MN đạt giá trị nhỏ nhất là:
Vậy M là trung điểm của BC thì MN nhỏ nhất
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
4.c. Ta có ∠DMC = 900 − ∠PDC mà ∠PDC =∠PAC (cùng chắn cung PC)
nên ∠DMC = 900 − ∠PAC
Do BD là trung trực AC nên ∠SAC=∠SCA hay ∠PAC =∠SCA
Suy ra ∠DMC = 900 − ∠SCA = ∠DSC
Do đó tứ giác CMSD nội tiếp, mà ∠MCD=900 nên ∠MSD=900.
Hay MS vuông góc DB, suy ra SM song song AC.
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 5. (1.0 điểm) Trên biểu tượng Olympic có 9 miền được ký hiệu (như hình minh họa). Người ta điền 9 số vào 9 miền trên sao cho mỗi miền được điền bởi một số, miền khác nhau được điền bởi số khác nhau và tổng các số trong cùng một hình tròn đều bằng 14.
a. Tính tổng các số trong các miền b, d, f và h.
b. Xác định cách điền thỏa yêu cầu trên.
Tóm tắt cách giải
Điểm
5.a. Gọi a’, b’,..., k’ lần lượt là các số trong các miền a, b, ..., k.
Mỗi hình tròn có tổng là 14 nên 5 hình tròn là 5.14 = 70.
Khi cộng như thế các số ở các miền b, d, f, h được cộng hai lần nên
b + d’ + f’ + h’ = 70 - (1 + 2 + … + 9) = 25.
5.b. Theo giả thiết a’ + b’ = h’ + k’ = 14 nên ta chỉ có hai cặp thỏa (5;9) và (6;8)
Do đó b’ + h’ chỉ có thể là 11, 13, 15, 17.
Dễ thấy ngay nếu b’ + h’ = 11 hoặc b’ + h’ = 13 (mà b’ + d’ + f’ + h’ =25) thì không thể thỏa mãn.
Nếu b’ + h’=17 thì d’ + f’ = 8 khi đó (d’;f’) chỉ có thể là cặp (1;7) nhưng không thể có cặp (7;9) hoặc (7;8) trong cùng một hình tròn.
Suy ra b’ + h’ = 15
Không mất tính tổng quát, giả sử b’ = 9, h’ = 6 khi đó a’ = 5, k’ = 8, d’ =3, f’ = 7, c’ = 2, e’ = 4, g’ = 1 (hoặc có thể đối xứng lại).
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Ghi chú :
+ Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh.
+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó; nếu vẽ hình sai về mặt bản chất thì không cho điểm cả bài.
+ Điểm từng câu và toàn bài tính đến 0,25 không làm tròn số.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 06/6/2018
Môn thi: Toán (Hệ chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút
MA TRẬN ĐỀ.
Phân môn
Mức độ
Các chủ đề
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Cộng
Thấp
Cao
SỐ HỌC
Dấu hiệu chia hết
Bài 2a
0,75

1,5
Tổng hợp
Bài 2b
0,75
ĐẠI SỐ
Giải phương trình, hệ phương trình
Bài 3, 1b
3,0
4,5
Rút gọn biểu thức
Bài 1.a
1,0
Tổng hợp
Bài 1c
0,5
HÌNH HỌC
Quan hệ vuông góc, song song
Bài 4.a
1,0
Bài 4c
1,0
3, 0
Cực trị hình học (GTNN của đoạn thẳng)
Bài 4.b
1,0

TỔ HỢP
Tổng hợp
Bài 5a
0,5
Bài 5b
0,5
1,0
Tổng cộng

2,0
6,25

1,75
10,0

onthicaptoc.com Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán năm 2018 2019 tỉnh Quảng Ngãi có đáp án