SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi : TOÁN (Chuyên Toán)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 08/6/2016
Câu 1.( 2 điểm)
   
16 y 17 x 1 1
a/ Cho A  :  , với x > 0, y > 0 và x y .
   
   
x xy xy y x y
   
2
Rút gọn biểu thức A, sau đó tính giá trị của biểu thức A biết x x+2y = 8y .
 
b/ Hãy tìm bộ ba số nguyên dương a; b và c sao cho a ≤ b ≤ c thỏa mãn đẳng thức sau:
abc = 2(a+ b + c ).
Câu 2.( 2 điểm)
2 2 2
a/ Giải phương trình 2x  2x1 2x 2x 1  2x 1 .
2

x  x y y 2  9y
 

b/ Giải hệ phương trình

y
x y  7
 2
 x  2
Câu 3.( 1 điểm)
2 2
Cho phương trình x −2 m +2 x +m +m +1 =0 ( m là tham số). Hãy xác định m để phương
( )
trình có nghiệm. Gọi hai nghiệm là x ; x (kể cả trùng nhau), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
2 2
C = x + x  x x .
1 2 1 2
Câu 4.(2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có góc A tù và AB = AC, gọi H là hình chiếu của điểm C lên AB.
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho H là trung điểm BE, gọi F là điểm đối xứng với D qua E, gọi G
là điểm đối xứng với A qua B.
a/ Chứng minh EC là tia phân giác góc DEB.
b/ Chứng minh tam giác CFG cân.
Câu 5.( 2 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và A),
điểm E bất kỳ trên cung nhỏ BD, gọi M là hình chiếu của điểm B lên CE.
a/ Chứng minh HM // AE.
b/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM đi qua trung điểm N của dây AE.
Câu 6.( 1 điểm)
Cho ba số thực a; b; c sao cho 0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1 và 0 < c ≤ 1. Chứng minh:
a b  c 3abc  2(ab bc ca) .
 Hết 
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………..Số báo danh:…………
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017
Nội dung Điểm
Câu 1: 2điểm
     
16 y x y
17 x 1 1 16y17x
a/ (1 đ) Ta có
A  :   :
     
0.25
     
x xy xy y x y xy
xy x y
 
     
16y17x xy 16y17x
0.25
A= . 
x y
x y
xy x y
 
2
2 2
Ta lại có x x 2y  8y  x y  9y  x y 3y (vì x, y > 0) 0.25
 
 x = 2y. Thay vào biểu thức A ta được:
0.25
A = –18.
b/ (1đ) Từ a ≤ b ≤ c => a+ b + c ≤ 3c , nên abc = 2( a+ b + c) ≤ 6c => ab ≤ 6 0.25
2
Nếu a ≥ 3 thì ab ≥ a ≥ 9, mâu thuẩn với ab ≤ 6, do đó a = 1 hoặc a = 2. 0.25
Nếu a = 1 thì bc = 2(b + c +1) ⇔(b‒2)(c‒2) = 6 do 0 < b ≤ c nên (b‒ 2 = 1; c ‒ 2 = 6) hoặc
(b ‒ 2 = 2; c ‒ 2 = 3) ta được (b = 3; c = 8) hoặc ( b = 4; c = 5) đều thỏa mãn. 0.25
Nếu a = 2 từ ab ≤ 6 suy ra b = 2 hoặc b = 3. Khi đó ta có 4c = 2( 4 + c) hoặc 6c = 2( 5 + c)
suy ra c = 4 hoặc 2c = 5 ( loại)
Vậy (a; b; c) = (2;2;4); (1;3;8); (1;4;5) 0.25
Câu 2: 2 điểm
2 2 2 2 2 0.25
a/ 2x  2x1 2x 2x 1 2x 1  2x 11 2x 1 2x  0
  
2 2
0.25
 2x 11 0 (vô nghiệm) hoặc 2x 1 2x 0.
2 2 2
Ta có 2x 1 2x 0 2x 1 2x  2x = 1 và x ≥ 0.
0.25
1
0.25
 x
2
y y

2
 1 x y .  9
x  x y y 2 9y 1  
   
2 2

0.25
 
x  2 x  2
b/ 
 
y
y
x y 7 2
 
 2 
x y 7
 x  2
2

 x  2
0.25
1 uv 9v  u 7 v
y
Đặt v ;u x y hệ phtr trở thành

 
2 2
x  2 u 7 v v  2v1 0
 
0.25
y

2

1 x  x 6 0

2
Suy ra u = 8 và v = 1 hay 
x  2
 
x y 8


x y 8

0.25
x3 x 2

Kết luận hệ phương trình có hai nghiệm
;
 
y 11 y 6


Câu 3: 1.điểm
2 2
x  2 m 2 x m  m1 0 . Lập  = 3m +3
 
0.25
Đk để phương trình có nhiệm:  = 3m +3 ≥ 0 => m ≥ ‒1
2
2 2
C = x  x  x x  x  x  3x x
  0.25
1 2 1 2 1 2 1 2
2
13 117
2  
2 2
0.25
C 4 m 2  3 m  m1  m 13m13 m 
 
 
 
2 4
 
13 11 121 117
0.25
Do m1 m   C   1. Vậy GTNN của C bằng 1 tại m = ‒1
2 2 4 4
2
(hoặc C m1 11 m1 1 1)
   
Câu 4: 2 điểm
F
Hình vẽ : phục vụ cho câu a, 0.25 đ
 
Ta có cân tại C nên
ΔCBE B=CEB
 
=> cùng bù hai góc bằng nhau
DAE=CEA
A H
E B
0.25
G
Nên AECD là hình thang cân ( ht + 2 góc đáy =)
=> AC = DE mà AB = AC nên DE = DC
0.25
   
Do đó mà
DEC=DCE DCE=CEB
 
D C
=> mà tia EC nằm giữa tia EB và ED nên
DEC=BEC
0.25
EC là phân giác góc DEB
b/ Ta có ΔcABC=ΔcDEC (cạnh bên và góc đáy
 
0.25
bằng) => BAC=CDE
Xét ΔACG và ΔDCF có:
 
AC = DC ( = AB) và BAC=CDE
0.25
AG = DF ( = 2AB = 2 DE)
Nên ΔACG = ΔDCF(c-g-c) => CG = CF
0.25
Vậy tam giác CGF cân tại C
0.25
Câu 5: 2 điểm
Hình vẽ phục vụ câu a 0.25
0
 
C
a/ BHC BMC 90 nên tứ/g BMHC nội tiếp
0.25
  
 BHM  BCM  BCE ( chắn cung BM)
 
Mà BAE BCE ( chắn cung BE)
0.25
H O
A
B
 
 BHM  BAE chúng ở vị trí đồng vị nên HM// AE
0.25
M
b/ (Không tính điểm hình vẽ câu b, không có hình
N
không chấm)
E
D
Ta đi chứng minh tứ giác DEMN nội tiếp
BC CD
0.25
Ta có ∆cBCD ∆ cOAD (g −g) => = OA
AD
BC CM
0.25
Lại có ∆vBCM ∆ cOAN (g −g) => = OA
AN
CD CM
 
Suy ra  , Mà DCM  DAN (chắn cung DE)
AD AN
Nên CDMADN (c g c)
0.25
   
 CMD AND  DME DNE , hai điểm M;N cùng
0.25
phía với DE nên tứ giác DEMN nội tiếp
Câu 6: 1 điểm
Từ 0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1 => (a‒1)( b ‒ 1) ≥ 0 0.25
1 1 1
0.25
 1 ≥ a + b ‒ ab    1
ab a b
0,25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 
Tương tự   1 và   1 Do đó    2    3
 
bc b c ac a c ab bc ca a b c
 
a b c ab bc ca
0.25
  2  3  a b c 3abc 2 ab bc ca
 
abc abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1
Chú ý : Thí sinh giải cách khác đáp án, các giám khảo thống nhất theo thang điểm của đáp án
Bài 5b (cách khác)
C
O
A H
B
N
M
E
D
I
K
Gọi K là điểm đối xứng của điểm D qua BE  BK= BD = BC
0 0
       
Ta có AE vuông góc BE và CEA=AED;DEI=KEI mà AED DEI=90 nên AEC KEI=90
Nên 3 điểm C; E; K thẳng hàng. (0.25)
Chứng minh được DCK đồng dạng DAE (g–g) (0.25)
Suy ra DCM đồng dạng DAN (0.25)
   
Do đó DMC DNA  DME DNE ,vậy tứ giác EMND nội tiếp. (0.25)

onthicaptoc.com Đề thi tuyển sinh vào 10 có đáp án môn toán năm học 2016 THPT chuyên tỉnh quảng nam