SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM
Năm học: 2015 – 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Khóa ngày 03 tháng 6 năm 2015
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1.( 2,0 điểm)
a/ Cho biểu thức với
Rút gọn A, sau đó tính giá trị của A - 1 khi
b/ Cho A = 2(12015 + 22015 +…..+ n2015) với n là số nguyên dương.
Chứng minh A chia hết cho n(n+1).
Câu 2.( 2,0 điểm)
a/ Giải phương trình sau:
b/ Giải hệ phương trình:
Câu 3.( 1,0 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + c với a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông trong đó a là độ dài cạnh huyền. Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa mãn

Câu 4.(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Các tia phân giác các góc EHB, DHC cắt AB, AC lần lượt tại I và K. Qua I và K lần lượt vẽ các đường thẳng vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M.
a/ Chứng minh AI = AK.
b/ Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B,C cố định, đỉnh A di động. Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5.( 2,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, qua A và B lần lượt vẽ các tiếp tuyến d1 và d2 với (O). Từ điểm M bất kỳ trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 tại C và cắt d2 tại D. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) tại E và F (E thuộc cung AM), gọi I là giao điểm của AD và BC.
a/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
b/ Chứng minh MI vuông góc với AB và ba điểm E; I; F thẳng hàng.
Câu 6.( 1,0 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z - (xy + yz + zx)

--------------------- Hết ----------------------
Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số Báo Danh:…………….
Chữ Ký Giám Thị 1 Chữ Ký Giám Thị 2
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 – 2016
KHÓA NGÀY 03/6/2015
Nội dung
Điểm
Câu 1: 2điểm
a/



0.25
0.25
0.25
0.25
Khi thì
Ta có suy ra
0.25
0.25
b/ Ta có a2015 + b2015 chia hết cho a + b nên
chia hết cho n + 1
Lại có chia hết cho n. Mà n và n + 1 nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho n(n+1)
0.25
0.25
Câu 2: 2 điểm
a/ Điều kiện:
0.25

0.25
(1) hoặc
Giải (1) ta được
0.25
Kết luận phương trình có nghiệm: ;
0.25
b/
0.25
Đặt u = x2 + 4x ; v = 4x + y Khi đó hệ phương trình trở thành
hoặc
0.25
Với Ta được hoặc
0.25
Với Ta được hoặc
Kết luận hệ phương trình có 4 nghiệm.
0.25
Câu 3: 1.điểm

Phương trình hoành độ giao điểm: ax2 - bx - c = 0.
Ta có a; b; c là 3 cạnh của tam giác vuông nên a > 0; b > 0; c > 0
Ta thấy a.(-c) < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu, chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
0.25
Theo định lý Viet ta có:
Ta có
0.25
(do a2 = b2 + c2 định lý Pitago)
0.25
0.25
Câu 4: 2 điểm
Hình vẽ phục vụ câu a 0.25 đ
a/ Chứng minh được ,
Nên trong hai tam giác vuông EHI và DHK có

=> Tam giác AIK cân tại A=> AI = AK
0.25
0.25
0.25
b/ KM và IM lần lượt cắt BC tại P và Q
Áp dụng tính chất phân giác ta có
Áp dụng định lý Talet cho các tam giác CBD và BEC ta được:
=>
BP = CQ
0.25
0.25
Gọi J là giao điểm của HM và BC
Áp dụng định lý Talet cho các tam giác JBH và JCH ta được:
mà BP = CQ nên JP = JQ
Suy JB= JC hay J là trung điểm của BC. Vậy HM luôn đi qua điểm cố định là trung điểm của BC khi tam giác ABC thay đổi.
0.25
0.25
Câu 5: 2 điểm
Hình vẽ phục vụ câu a
0.25
a/ Ta có CA = CM ; DB = DM
Suy ra CD = CA + DB
Gọi O’ trung điểm CD ta chứng minh được OO’ là đường trung bình hình thang ACDB nên
OO’= .( AC + BD) = CD
Suy ra đường tròn đường kính CD qua O
Lại có OO’ ^ AB ( OO’ // AC; AC ^ AB)
Vây AB là tiếp tuyến của đ/ tròn đường kính CD
0.25
0.25
0.25
b/ Ta có hai tam giác ICA và IBD đồng dạng
suy ra => MI // BD => MI ^ AB
0.25
Gọi H là giao điểm MI và AB => MH // BD
Ta có => MI = IH
hay I trung điểm MH
0.25
Gọi I’ là giao điểm của MH và EF, đặt h = MH, gọi R bán kính đường tròn (O)
Ta có hai tam giác MHO và OMO’ đồng dạng
Gọi x = I’H, gọi K là giao điểm OO’ với EF
Ta có OO’ ^ EF ( đoạn nối tâm vuông góc dây chung)
Ta có OK = I’H = x
. Theo định lý Pitago cho
KE2 = O’E2 - O’K2 và O’K = O’O - OK
(1)
Trong tam giác vuông EKO ta có
(2)
Từ (1) và (2) ta có
Vậy I trùng với I’ hay 3 điểm E; I; F thẳng hàng.
0.25
0.25
Câu 6: 1 điểm
Ta có
0.25
Do đó
0.25
0.25
Suy ra
Vậy Pmax = 5 khi và chỉ khi ( chẳng hạn x = 2; y = -2; z = 1)
0.25
Chú ý : Thí sinh giải cách khác đáp án, các giám khảo thống nhất theo thang điểm của đáp án

onthicaptoc.com Đề thi tuyển sinh vào 10 có đán án môn toán năm 2015 THPT chuyên tỉnh quảng nam