SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình
b) Giải phương trình
c) Giải hệ phương trình
Câu 2 (1,5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho cũng là số nguyên tố.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn .
Cho biết kí hiệu là tích các số tự nhiên từ đến .
Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số dương . Chứng minh rằng

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác tia cắt đường tròn tại điểm (khác ). Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm (khác ) và cắt cạnh tại điểm .
a) Chứng minh rằng tam giác cân. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
b) Chứng minh
c) Gọi các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh . Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với qua Biết rằng chứng minh
Câu 5 (0,5 điểm). Thầy Du viết số thành tổng của các số nguyên dương rồi đem cộng tất cả các chữ số của các số nguyên dương này với nhau. Hỏi thầy Du có thể nhận được kết quả là số hoặc được không? Tại sao?
-------------Hết-------------
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ............................................................... Số báo danh: ……………......
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin
————————
Lưu ý chung:
- Hướng dẫn chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải, nếu học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm theo thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Trong một bài, thí sinh giải đúng đến đâu cho điểm đến đó.
- Bài hình học nếu không vẽ hình thì không cho điểm, nếu vẽ hình sai thì không cho điểm ứng với phần vẽ hình sai.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1 (4,0 điểm).
a) (1,5 điểm). Giải phương trình
Nội dung
Điểm
Điều kiện xác định:
Phương trình:
0,5
0,5
0,25
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
0,25
b) (1,5 điểm). Giải phương trình
Nội dung
Điểm
Điều kiện xác định (1)
0,25
+) Nhận xét: không là nghiệm của phương trình.
+) Với : Khi đó phương trình viết được thành
0,25
Đặt , thay vào phương trình trên ta được:
0,5
Với ta có: vô nghiệm do .
Với ta có: , ta có suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
So sánh với điều kiện (1) ta được phương trình có hai nghiệm
0,5
c) (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
Nội dung
Điểm
Điều kiện .

0,25
0,25
0,25
Vậy hệ có hai nghiệm là
0,25
Câu 2 (1,5 điểm).
a) (0,5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho là số nguyên tố.
Nội dung
Điểm
Nếu thì là số nguyên tố suy ra thỏa mãn.
Nếu thì , kết hợp với suy ra không là số nguyên tố.
0,25
Nếu thì , kết hợp với suy ra không là số nguyên tố.
0,25
b) (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn .
Cho biết kí hiệu là tích các số tự nhiên từ đến .
Nội dung
Điểm
Giả sử , kết hợp với giả thiết ta được .
*) Nếu
vô lí.
0,25
*) Nếu thì
+) Nếu thì từ phương trình trên ta được:
0,25
Từ phương trình này ta được:
Với , ta được phương trình
+ Nếu vô lí.
+ Nếu vô lí.
0,25
+) Nếu thì từ phương trình đã cho ta được:
Vậy
0,25
Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số dương . Chứng minh rằng

Nội dung
Điểm
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

0,5
Ta sẽ chứng minh
0,25

(luôn đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
0,25
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn . Gọi điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , tia cắt đường tròn tại điểm (khác điểm ). Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm (khác ) và cắt cạnh tại điểm .
a) (1,0 điểm). Chứng minh rằng tam giác cân. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Nội dung
Điểm
Ta có (1) (do AI, BI lần lượt là phân giác các góc BAC, ABC và tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn).
0,25
Mặt khác (do AI, BI tương ứng là phân giác góc BAC, ABC) (2).
Từ (1) và (2) ta được tam giác DBI cân tại D.
0,25
Ta có (3) (do AI, CI lần lượt là phân giác các góc BAC, ACB và tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn).
Mặt khác (do AI, BI tương ứng là phân giác góc BAC, ABC) (4).
Từ (3) và (4) ta được tam giác DCI cân tại D.
0,25
Do tam giác DBI và DCI cân tại D nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
0,25
b) (1,0 điểm). Chứng minh
Nội dung
Điểm
Theo kết quả phần a ta có tam giác DIC cân tại D nên
Do OD là trung trực của BC suy ra F là trung điểm của BC. Do DE là đường kính của đường tròn (O) suy ra .
0,25
Kết hợp với CF là đường cao của tam giác DCE nên
0,25
Xét hai tam giác DIF và DEI có:
và suy ra tam giác DIF đồng dạng với tam giác DEI
0,25
Suy ra .
0,25
c) (1,0 điểm) Gọi các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh . Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với qua . Biết rằng , chứng minh
Nội dung
Điểm
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABDC ta được:
0,25
Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng AI, suy ra là trung điểm của PD. Mặt khác I là trung điểm HM suy ra tứ giác MPHD là hình bình hành.
Từ đó suy ra DH = MP = DI (5).
0,25
Chứng minh tương tự ta được DK = DI (6).
Mặt khác theo kết quả phần a ta được DB = DC = DI (7).
Từ (5), (6), (7) ta được DB = DC = DH = DK = DI suy ra B, C, H, K, I cùng thuộc đường tròn tâm .
0,25
Do B, C, H, K, I cùng thuộc đường tròn tâm nên sđ, sđ.
Do sđ sđ
Từ đó suy ra .
0,25
Câu 5 (0,5 điểm). Thầy Du viết số thành tổng của một vài số nguyên dương rồi đem cộng tất cả các chữ số của các số nguyên dương này với nhau. Hỏi thầy Du có thể nhận được kết quả là số hoặc được không? Tại sao?
Nội dung
Điểm
Nhận xét. Cho số nguyên dương , kí hiệu là tổng các chữ số của . Khi đó .
Chứng minh. Giả sử
.
0,25
Ta có
Do
Mặt khác
Từ đó suy ra , .
Do đó thầy Du không nhận được kết quả là 2021 và 2022.
0,25
-----------------HẾT-----------------

onthicaptoc.com Đề thi tuyển sinh lớp vào lớp 10 chuyên môn Toán năm 2020 2021 tỉnh Vĩnh Phúc có đáp án