SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM
Năm học: 2013 – 2014
Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1.( 1.5 điểm)
Cho biểu thức ( với x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9).
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 2.( 2 điểm)
a. Giải phương trình .
b. Giải hệ phương trình
Câu 3.( 1.5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x - y - a2 = 0 và Parabol
(P): y = ax2 ( a là tham số dương).
a. Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A và B nằm bên phải trục tung.
b. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Câu 4.( 2 điểm)
Cho ΔABC nhọn có số đo góc đỉnh A là 450. Nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bán kính OM vuông góc với BC.
a. Chứng minh (với BC = 2R).
b. Chứng minh M là trực tâm ΔAEF.
Câu 5.( 2 điểm)
Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC . Hạ các đường cao BE và CF, gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N.
a. Chứng minh ΔAMF đồng dạng với ΔANC.
b. Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Câu 6.( 1 điểm)
Cho hai số x và y thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
--------------------- Hết ----------------------
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………Số Báo Danh:………………
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP CHUYÊN TOÁN 10 ( 2013-2014)
Nội dung
Điểm
Câu 1: 1.5 điểm
a/ =
phân tích mẫu số thứ nhất ( 0.25), quy đồng mẫu ở hai phân thức sau (0.25)
0,5
A =
0.25
A = =
0,25
b/ A = 1 + , lý luân A Î Z khi là ước số của 4
0.25
Giải 6 trường hợp, tìm được 4 giá trị của x là 1; 16; 25 và 49
0.25
Câu 2: (2 điểm)
a/ pt , đặt > 0 , x Î R
Pt có dạng : 3( t2 - 3) - t -15 = 0 3t2 - t -24 = 0
0.25
0.25
Pt có nghiệm: t1 = ( loại ) ; t2 = 3
Với t = 3 x = 2 hoặc x = -3
0.25
0.25
b/ Hệ phương trình ( Đk x ≠0; y ≠ 0 )
0.25
Đặt u = x + 2y ; v = xy ≠ 0 Hê phương trình có dạng
Khi đó có hệ phương trình
0.25
0.25
Rút x từ (1) thay vào (2) được y = 1 hoặc y = 3
Kết luận hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) = ( 6 ; 1) ; ( 2 ; 3)
0.25
Câu 3: 1.5 điểm

a/ Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P): ax2 = 2x -a2 ( a > 0)
0.25
Lý luận (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi Δ’ = 1 - a3 > 0
0.25
Δ’ = (1-a)(1 + a + a2) > 0 a < 1 ( vì 1 + a + a2 > 0, a ) K luận 0 < a < 1
Theo Đlý Viet ta có S = x1 + x2 = 2/a ; P = x1. x2 = a
do 0 < a < 1 nên x1 > 0 ; x2 > 0
do x1 > 0 ; x2 > 0,nên hai điểm A; B nằm về bên phải trục tung
0.25
b/
0.25

0.25
Vậy GTNN của M là khi và chỉ khi
0.25
Câu 4: 2 điểm
Hình vẽ : phục vụ cho câu a, b 0.25 đ
a/ Trong ΔvAEC gócECA = 450, góc ACE = 450
Mà góc ECF = ½ góc EOF => góc EOF = 900
=> ΔOEF vuông cân tại O =>
0.25
0.25
0.25
b/ ΔMBC vuông cân => góc MBC=góc MCB = 450
tứ giác BEMC nội tiếp => góc AEM=góc MCB =450
=> Δ AEK vuông, với K = EM AC => EM ^ AF
Tương tự FM ^ AE => M là trực tâm của ΔAEF
(Chú ý: bài này có nhiều cách giải, giám khảo tự phân điểm theo các bước giải tương ứng)
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5: 2 điểm
Hình vẽ phục vụ cho câu a, b 0.25 đ
a/ Chứng minh BHCK hình bình hành,
suy ra: góc HCB = góc CBK
0.25
Mà góc HCB = góc HAB (phụ góc ABC)
Và góc CBK = góc CAK (chắn cung KC)
=> góc HAB =góc CAK
0.25
Tứ giác BFEC nội tiếp => góc AFM = góc ACN
=> Δ AMF đồng dạng Δ ANC(gg)
0.25
b/ (Δ AMF đồng dạng Δ ANC) (1)
0.25
Chứng minh ΔAFH đồng dạng ΔACK (g.g)
=> (2)
0.25
(1),(2) => theo đlý TaLet ta có MN // HK
0.25
Do BHCK là hình bình hành có I trung điểm BC nên H;I;K thẳng hàng=> MN//HI
0.25
Câu 6: 1 điểm
≥ ( theo BĐT Cô-Si) (*)
0.25
(*) (xy)2 - 2013xy - 2014 ≤ 0
0.25
Đặt t = xy thì (*) t2 - 2013t -2014 ≤ 0 (t+1)(t-2014) ≤ 0 -1 ≤ t ≤ 2014
0.25
GTLN của xy là 2014 khi x = y =
GTNN của xy là -1 Khi (x = 1 ; y =-1) hoặc ( x = -1; y = 1)
0.25

onthicaptoc.com Đề thi tuyển sinh có đáp án môn toán lớp 10 năm học 2013 THPT chuyên tỉnh quảng nam