onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YÊN BÁI
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT 2025 LẦN 2
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng và .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng.
Câu 2. Cho hàm số xác định trên khoảng và có . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng .
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng và một tiệm cận ngang là đường thẳng .
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng .
Câu 3. Trong không gian , cho hai vectơ và . Tích vô hướng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng Diện tích S bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng
A. 5. B. 2. C. 7. D. 13.
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của (tham khảo hình vẽ). Góc giữa và là
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Đồ thị của hàm số là đường cong nào trong các hình vẽ sau?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10. Trong không gian , cho mặt phẳng có phương trình . Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Trong không gian , cho đường thẳng một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số
a) .
b) Hàm số có tập xác định là .
c) Phương trình có một nghiệm .
d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn có dạng thì .
Câu 2. Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm là , trong đó tính bằng phút, tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số với tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát () khinh khí cầu ở độ cao m.
a) .
b) Tại thời điểm phút, độ cao của khinh khí cầu là 524,32m.
c) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là 540m.
d) Sau 15 phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.
Câu 3. Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang và 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang.
Gọi là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang”.
là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang”.
là biến cố: “không bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh 2 lần đều không mang khẩu trang”.
là biến cố: “ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang”.
a) .
b) .
c) .
d) .
Câu 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ki-lô-mét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí ở trên đường băng (hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng đi qua ba điểm , và .
a) Đường thẳng có phương trình tham số là .
b) Khi máy bay cách mặt đất thì vị trí của máy bay trên đường thẳng là điểm .
c) Độ cao của máy bay khi xuyên qua đám mây để hạ cánh là (làm tròn kết quả tới hàng phần trăm).
d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối của đường băng ở độ cao tối thiểu là . Nếu sau khi ra khỏi đám mây tầm nhìn của người phi công là thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Ở mỗi câu thí sinh điền đáp án của câu đó.
Câu 1. Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số và có khoảng cách từ đến đường thẳng nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trên không gian Oxyz. Một đồi gồm 3 drone giao hàng A, B, C có tọa độ là . Gọi lần lượt là khoảng cách giữa các cặp drone. Tính tổng (kết quả được làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 3. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy A cần bán cho nhà máy B bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 4. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục . Biết rằng là hình chữ nhật với . Gọi lần lượt là trung điểm của . Hai đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ).
Câu 5. Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí cao của tháp 1 này sang vị trí cao của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ cho trước ( đơn vị: mét), tọa độ của lần lượt là và. Khi du khách ở độ cao thì tọa độ của du khách lúc đó là . Tính giá trị của biểu thức
Câu 6. Một bể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta làm lại mặt đáy như hình vẽ. Biết rằng và là các hình chữ nhật, , m, m, m, m. Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với thể tích của bể lúc ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
BẢNG ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
D
C
D
A
A
B
A
B
A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
B
SSÐÐ
SÐÐÐ
ÐÐSÐ
ÐÐÐS
0
0
70,7
75,4
21
22
43,3
0,88
LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng và .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng.
Lời giải
Vì và nên hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng.
Câu 2. Cho hàm số xác định trên khoảng và có . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng .
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng và một tiệm cận ngang là đường thẳng .
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng .
Lời giải
Vì nên Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng .
Câu 3. Trong không gian , cho hai vectơ và . Tích vô hướng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; nên .
Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng Diện tích S bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta có .
Câu 5. Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng
A. 5. B. 2. C. 7. D. 13.
Lời giải
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm của một số hàm thường gặp ta có .
Câu 7. Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dãy số có dạng khai triển là: nên không phải là cấp số cộng
Dãy số có dạng khai triển là nên không phải là cấp số cộng
Dãy số có dạng khai triển là: nên không phải là cấp số cộng
Do đó dãy số là cấp số cộng
Câu 8. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của (tham khảo hình vẽ). Góc giữa và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do cân tại mà là trung điểm của nên
Do đó ta có
Do đó hình chiếu của lên mặt phẳng là
Vậy
Câu 9. Đồ thị của hàm số là đường cong nào trong các hình vẽ sau?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có nên đồ thị có tiệm cận ngang
nên đồ thị có tiệm cận đứng
Do đó đồ thị của hàm số là đáp án B
Câu 10. Trong không gian , cho mặt phẳng có phương trình . Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có nên thuộc mặt phẳng .
Câu 11. [Mức 1] Trong không gian , cho đường thẳng một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Câu 12. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có đồ thị của hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1 nên là đồ thị hàm số .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số
a) .
b) Hàm số có tập xác định là .
c) Phương trình có một nghiệm .
d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn có dạng thì .
Lời giải
a) Sai
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
a) .
Suy ra mệnh đề sai.
(b) Điều kiện xác định: .Vậy tập xác định là .
Suy ra mệnh đề sai.
(c) Ta có
.
Suy ra mệnh đề đúng.
(d) Bảng biến thiên của hàm số
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn là .
Do đó: .
Suy ra mệnh đề đúng.
Câu 2. Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm là , trong đó tính bằng phút, tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số với tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát () khinh khí cầu ở độ cao m.
a) .
b) Tại thời điểm phút, độ cao của khinh khí cầu là 524,32m.
c) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là 540m.
d) Sau 15 phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.
Lời giải
(a) S
Ta có .
Tại thời điểm xuất phát (), độ cao của khinh khí cầu là 520m nên .
Vậy .
(b) Đ
Tại thời điểm phút, độ cao của khinh khí cầu là m.
(c) Đ
Ta có , suy ra .
Ta có BBT:
Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540m.
(d) Đ
Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì .
Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.
Câu 3. Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang và 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang.
Gọi là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang”.
là biến cố: “nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang”.
là biến cố: “không bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh 2 lần đều không mang khẩu trang”.
là biến cố: “ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang”.
a) .
b) .
c) .
d) .
Lời giải
(a) Đ
Vì bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang nên .
(b) Đ
Ta có nên .
(c) S
Biến cố : “Không bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh 2 lần đều không đeo khẩu trang”.
Mỗi lần tiếp xúc mà không đeo khẩu trang thì xác suất không bị lây bệnh là
.
Do độc lập giữa các lần tiếp xúc, nên .
(d) Đ
là biến cố: “ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang”.
là biến cố: “cả hai lần tiếp xúc đều không bị lây bệnh, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang.
Ta có .
Câu 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ki-lô-mét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí ở trên đường băng (hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng đi qua ba điểm , và .
a) Đường thẳng có phương trình tham số là .
b) Khi máy bay cách mặt đất thì vị trí của máy bay trên đường thẳng là điểm .
c) Độ cao của máy bay khi xuyên qua đám mây để hạ cánh là (làm tròn kết quả tới hàng phần trăm).
d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối của đường băng ở độ cao tối thiểu là . Nếu sau khi ra khỏi đám mây tầm nhìn của người phi công là thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.
Lời giải
(a) Đ
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là và đi qua điểm nên có phương trình: .
(b) Đ
Máy bay cách mặt đất tức là suy ra .
Do đó hay .
(c) Đ
Phương trình mặt phẳng là .
Gọi giao điểm của và là suy ra
.
Giải phương trình trên thu được suy ra .
Khi đó độ cao của máy bay là .
(d) S
Khi máy bay ở độ cao thì máy bay ở vị trí .
do đó người phi công không đạt được quy định an toàn bay.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Ở mỗi câu thí sinh điền đáp án của câu đó.
Câu 1. Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số và có khoảng cách từ đến đường thẳng nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Đáp số: 13
Vì thuộc đồ thị hàm số nên
Khoảng cách từ đến nhỏ nhất khi tiếp tuyến tại của đồ thị hàm số song song với đường thẳng .
Xét
Với
Với
Suy ra .
Câu 2. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trên không gian Oxyz. Một đồi gồm 3 drone giao hàng A, B, C có tọa độ là . Gọi lần lượt là khoảng cách giữa các cặp drone. Tính tổng (kết quả được làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 31.5
Tổng có
Lời giải
Câu 3. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy A cần bán cho nhà máy B bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 70,7
Tổng chi phí cho tấn sản phẩm là: ,
Tổng doanh thu khi bán tấn sản phẩm là:
Lợi nhuận thu về khi bán hết tấn sản phẩm là:
Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy nhà máy A cần bán 70,7 tấn sản phẩm cho nhà máy B để lợi nhuận thu về tối đa.
Câu 4. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục . Biết rằng là hình chữ nhật với . Gọi lần lượt là trung điểm của . Hai đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ).
ĐÁP SỐ : 75,4
Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ ( là trung điểm của , tia là tia , tia vuông góc với và hướng lên trên)
Phương trình elip là: . Do đó: .
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay elip quanh là:
Phương trình đường tròn là: . Do đó: .
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay đường tròn quanh là: .
Thể tích của vật trang trí là: ()
Câu 5. Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí cao của tháp 1 này sang vị trí cao của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ cho trước ( đơn vị: mét), tọa độ của lần lượt là và. Khi du khách ở độ cao thì tọa độ của du khách lúc đó là . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Đáp án: 43,3
Xét hệ trục tọa độ sao cho trục là chiều cao của tháp, mặt phẳng là mặt đất
Với hệ trục tọa độ cho trước ( đơn vị: mét), tọa độ của lần lượt là và
Đường thẳng đi qua và nhận là véc tơ chỉ phương có phương trình
Khi du khách ở độ cao thì . Do đó
tọa độ của du khách lúc đó là
Câu 6. Một bể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta làm lại mặt đáy như hình vẽ. Biết rằng và là các hình chữ nhật, , m, m, m, m. Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với thể tích của bể lúc ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
ĐÁP ÁN : 0,88
Lời giải
l Gọi là giao điểm của và
l Gọi là giao điểm của và
l Thể tích của hình hộp chữ nhật là
l Thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy là
l Tỉ số thể tích cần tìm là
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi thu tot nghiep 2025 mon Toan So GD Yen Bai Lan 2