onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM 2025
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. [1] Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như sau
Điểm cực đại của hàm số là
A. B. . C. . D. .
Câu 2. [1] Nguyên hàm của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 3. [1] Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. [1] Cho hàm số là một nguyên hàm của . Biết , . Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Trong không gian , mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho hình lập phương
Góc giữa cặp vectơ và bằng.
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ sau.
Trên đoạn , hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm.
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D..
Câu 9. [1] Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
A. B. C. D.
Câu 10. [2] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là . Thể tích khối chóp bằng.
A. B. C. D.
Câu 11. [1] Cho cấp số nhân với và công bội . Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Câu 12. [1] Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình . Bán kính của mặt cầu bằng.
A. . B. . C. D. .
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng – sai.
Câu 1. [NB-NB-TH-TH] Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ (mg/l) của thuốc trong máu sau phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức .
(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning)
a) [1] Thời điểm 1 phút sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu là 10 (mg/l)
b) [1] Đạo hàm của hàm số là .
c) [2] Trong khoảng thời gian từ 1 phút sau khi tiêm trở đi, nồng độ thuốc trong máu giảm dần.
d) [2] Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm 2 phút sau khi tiêm.
Câu 2. [NB-TH-TH-VD] Trong một hộp đựng quả cầu chứa phiếu có thưởng và quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.
a) [1] Xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
b) [2] Biết bạn Bình đã lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng, xác suất để bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
c) [2] Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
d) [3] Biết An lấy được quả cầu có phiếu có thưởng, xác suất để Bình lấy được quả cầu có phiếu có thưởng là .
Câu 3. [TH-TH-VD-VD] Trong không gian , cho hai điểm .
a) [2] Điểm là trung điểm của đoạn thẳng .
b) [2] .
c) [3] Phương trình mặt cầu đường kính là .
d) [3] Xét các điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của đoạn không vượt quá .
Câu 4. [NB-NB-TH-TH] Vật thể chuyển động trong 10 phút với vận tốc là giá trị hàm số
(đơn vị: m/phút), phụ thuộc vào thời gian (đơn vị: phút). Đồ thị của hàm số vận tốc như hình vẽ sau.
a) [1] Trong khoảng từ phút thứ đến phút thứ , vận tốc vật thể không thay đổi.
b) [1] Quãng đường đi được của vật thể sau 6 phút đầu tiên là .
c) [2] .
d) [3] Tổng quãng đường đi được của vật thể sau phút đầu tiên là m.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. [3] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật cạnh . Cạnh bên và vuông góc với đáy. Số đo góc phẳng nhị diện là . Tìm giá trị của .
Câu 2. [3] Người ta làm một sân khấu có hình dạng hai hình tròn giao nhau như hình vẽ. Bán kính của hai hình tròn lần lượt là m và m. Khoảng cách giữa tâm hai hình tròn là m. Tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn theo (là tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 3. [3] Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là và . Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là, nhóm cao đẳng là . Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 4. [3] Trên mõi cạnh của hình bên dưới, có ghi số phút để đi từ điểm này đến điểm kế tiếp.
Tìm tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm A đến điểm D trên hình .
Câu 5. [3] Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hóa bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi . Tìm ?
Câu 6. [3] Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm ở trên mặt đất tới đỉnh của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là và trong hệ tọa độ không gian , với là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm nằm dưới một cái hồ tới một điểm nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách này là nhỏ nhất. Tính .
---HẾT---
BẢNG ĐÁP ÁN
PHẦN I.
1.D
2.B
3.D
4.D
5.A
6.B
7.C
8.A
9.A
10.B
11.C
12.A
PHẦN II.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
a) Đ
a) S
a) Đ
a) Đ
b) Đ
b) Đ
b) S
b) Đ
c) S
c) Đ
c) S
c) S
d) S
d) Đ
d) Đ
d) Đ
PHẦN III.
Câu
1
2
3
4
5
6
Đáp án
135
664
0.55
25
6
100
C-LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. [1] Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như sau
Điểm cực đại của hàm số là
A. B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta có điểm cực đại của hàm số là (hàm số xác định tại đó và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm)
Câu 2. [1] Nguyên hàm của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Câu 3. [1] Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 4. [1] Cho hàm số là một nguyên hàm của . Biết , . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 5. [2] Trong không gian , mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Câu 6. [2] Cho hình lập phương
Góc giữa cặp vectơ và bằng.

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì là hình lập phương nên là hình bình hành
.
Câu 7. [2] Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ sau.
Trên đoạn , hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa và đồ thị suy ra
Câu 8. [2] Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D..
Lời giải
Ta có .
Câu 9. [1] Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
Câu 10. [2] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là . Thể tích khối chóp bằng.
A. B. C. D.
Lời giải
Khối chóp có
Câu 11. [1] Cho cấp số nhân với và công bội . Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
.
Câu 12. [1] Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình . Bán kính của mặt cầu bằng.
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Mặt cầu có phương trình có bán kính .
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 16 đến câu 19. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng – sai.

Câu 1: [NB-NB-TH-TH] Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ (mg/l) của thuốc trong máu sau phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức .
(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning)
a) [1] Thời điểm 1 phút sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu là 10 (mg/l)
b) [1] Đạo hàm của hàm số là .
c) [2] Trong khoảng thời gian từ 1 phút sau khi tiêm trở đi, nồng độ thuốc trong máu giảm dần.
d) [2] Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm 2 phút sau khi tiêm.
Lời giải
a) Đúng.
Ta có công thức xác định nồng độ (mg/l) của thuốc trong máu sau phút là
Với thời gian phút sau khi tiêm, ta thay vào , có
(mg/l)
b) Đúng.
Ta có
Nên
c) Sai.
Cho hay .
Ta có bảng biến thiên
Vậy khoảng thời gian từ 1 phút sau khi tiêm trở đi, nồng độ thuốc tăng trên khoảng và giảm trên khoảng .
d) Sai.
Nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất sau phút.
Câu 2. [NB-TH-TH-VD] Trong một hộp đựng quả cầu chứa phiếu có thưởng và quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.
a) [1] Xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
b) [2] Biết bạn Bình đã lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng, xác suất để bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
c) [2] Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
d) [3] Biết An lấy được quả cầu có phiếu có thưởng, xác suất để Bình lấy được quả cầu có phiếu có thưởng là .
Lời giải
a) Sai.
Vì có quả cầu chứa phiếu có thưởng trong tổng số quả cầu nên xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
b) Đúng.
Gọi là không gian mẫu.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi biến cố :“Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”, :“Bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.
Ta suy ra xác suất cần tìm là .
Khi đó biến cố :“Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng và bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.
nên .
.
nên
Vậy .
c) Đúng.
Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là .
d) Đúng.
Xác suất cần tìm là .
Ta có: nên .
Vậy .
Câu 3. [TH-TH-VD-VD] Trong không gian , cho hai điểm .
a) [2] Điểm là trung điểm của đoạn thẳng .
b) [2] .
c) [3] Phương trình mặt cầu đường kính là .
d) [3] Xét các điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của đoạn không vượt quá .
Lời giải
a) Đúng
Trung điểm của đoạn thẳng là hay .
b) Sai
.
c) Sai
Mặt cầu đường kính có tâm là , bán kính .
Phương trình mặt cầu là .
d) Đúng
Vì nên điểm thuộc mặt cầu .
Mặt khác điểm thuộc mặt phẳng nên điểm thuộc đường tròn .
Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn .
Ta có là hình chiếu của trên mặt phẳng , suy ra và .
Ta có điểm nằm bên ngoài đường tròn .
Gọi , nằm giữa và .
Do đó .
Ta có nên giá trị nhỏ nhất của đoạn không vượt quá .
Câu 4. [NB-NB-TH-TH] Vật thể chuyển động trong 10 phút với vận tốc là giá trị hàm số
(đơn vị: m/phút), phụ thuộc vào thời gian (đơn vị: phút). Đồ thị của hàm số vận tốc như hình vẽ sau.
a) [1] Trong khoảng từ phút thứ đến phút thứ , vận tốc vật thể không thay đổi.
b) [1] Quãng đường đi được của vật thể sau 6 phút đầu tiên là .
c) [2] .
d) [3] Tổng quãng đường đi được của vật thể sau phút đầu tiên là m.
Lời giải
a) Đúng
Dựa vào hàm số , ta thấy trong khoảng thời gian từ phút thứ đến phút thứ , hàm số là hàm hằng nên vận tốc vật thể không thay đổi.
b) Đúng
Quãng đường đi được của vật thể sau 6 phút đầu tiên là .
c) Sai
Xét trong khoảng thời gian từ phút thứ đến phút thứ , hàm số có đồ thị là một phần của Parabol đỉnh và đi qua gốc tọa độ nên ta có hệ phương trình
.
Vậy .
d) Đúng
Theo câu c, trong khoảng thời gian từ phút thứ đến phút thứ , hàm số .
Tại . Do đó .
Tóm lại .
Vậy tổng quãng đường đi được của vật thể sau phút đầu tiên là
m.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. [3] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật cạnh . Cạnh bên và vuông góc với đáy. Số đo góc phẳng nhị diện là . Tìm giá trị của .
Lời giải
Đáp số: .
Ta có:
Trong kẻ (1)
Ta có: , (2)
Mà (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
Nên
Khi đó .
Tam giác vuông tại , có:

Tam giác vuông tại , có: nên tam giác vuông cân tại .

.
Vậy .
Câu 2. [3] Người ta làm một sân khấu có hình dạng hai hình tròn giao nhau như hình vẽ. Bán kính của hai hình tròn lần lượt là m và m. Khoảng cách giữa tâm hai hình tròn là m. Tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn theo (là tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Đáp số: .
Gọi lần lượt là tâm của hai hình tròn nhỏ và lớn.
Diện tích cần tìm là
Ta có
Tam giác vuông tại có là đường cao nên
Chọn hệ trục tọa độ (như hình vẽ) sao cho gốc là tâm của hình tròn bé, trục đi qua đường nối tâm của hai hình tròn.
Khi đó phương trình của hai đường tròn là và
Do đó là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục và hai đường thẳng ; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục và hai đường thẳng
Ta có .
Câu 3. [3] Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là và . Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là, nhóm cao đẳng là . Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp số: .
Gọi là biến cố “ Chọn nhân viên có trình độ đại học” .
Gọi là biến cố “ Chọn nhân viên bị tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn” .
Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là và nên .
Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là, nhóm cao đẳng là nên và .
Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì xác suất để người này có trình độ đại học là .
Theo công thức ta có: .
Câu 4. [3] Trên mõi cạnh của hình bên dưới, có ghi số phút để đi từ điểm này đến điểm kế tiếp.
Tìm tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm A đến điểm D trên hình.
Lời giải
Đáp số: 25.
Các đường đi có thể từ A đến D và thời gian tương ứng là:
Câu 5. [3] Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hóa bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi . Tìm ?
Lời giải
Đáp số: .
Hàm số biểu thị tốc độ bán hàng là
với .
Ta có
Xét suy ra
Suy ra suy ra .
Bảng biến thiên
Vậy tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi .
Câu 6. [3] Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm ở trên mặt đất tới đỉnh của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là và trong hệ tọa độ không gian , với là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm nằm dưới một cái hồ tới một điểm nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách này là nhỏ nhất. Tính .
Lời giải
Đáp số: 100.
Ta cs phương trình đường thẳng , nằm trên dây cáp nên
, khoảng cách này là nhỏ nhất khi vuông góc vơi đường thẳng . Khi đó ta có: .
Vậy
---HẾT---
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi thu tot nghiep 2025 mon Toan So GD LAO CAI