onthicaptoc.com
ĐỀ PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ
MINH HỌA
SỞ GD & ĐT TỈNH NINH BÌNH
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024-LẦN 3
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. [Mức độ 1] Có bao nhiêu cách chọn ra 1 bạn nam và 1 bạn nữ từ một nhóm gồm 5 bạn nam và 7 bạn nữ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. [Mức độ 1] Cho cấp số nhân có , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. [Mức độ 1] Cho hàm số (với ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. [Mức độ 1] Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
Điểm cực tiểu của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. [Mức độ 1] Đồ thị hàm số nhận đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. [Mức độ 1] Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. [Mức độ 1] Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. [Mức độ 1] Với số thực dương tuỳ ý, bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. [Mức độ 1] Hàm số là một nguyên hàm của hàm số
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 12. [Mức độ 1] Cho và , khi đó bằng
A. . B.. C. . D. .
Câu 13. [Mức độ 1] Cho . Tính .
A. . B.. C. . D. .
Câu 14. [Mức độ 1] Số phức có phần thực là
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. [Mức độ 1] Trong mặt phẳng tọa độ , điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. [Mức độ 1] Cho số phức . Số phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. [Mức độ 1] Cho hình lăng trụ đứng có và tam giác có diện tích bằng 6. Thể tích của khối lăng trụ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. [Mức độ 1] Cho hình chóp có , , đáy là hình chữ nhật có các kích thước bằng 4 và 3. Thể tích của khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. [Mức độ 1] Diện tích của mặt cầu có đường kính bằng 8 là
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. [Mức độ 1] Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao gấp đôi bán kính đáy là
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Điểm đối xứng của qua trục hoành có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu . Mặt cầu có tâm và bán kính là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 23. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng có một véc tơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Đường thẳng đi qua hai điểm có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 25. [Mức độ 2+] Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 5 lần liên tiếp. Xác suất để trong 5 lần gieo đó có 2 lần xuất hiện mặt ngửa và 3 lần xuất hiện mặt sấp là
A. . B. . C. . D. .
Câu 26. [Mức độ 2] Cho hàm số (với ) có đồ thị của hàm số là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 27. [Mức độ 2] Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là . Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. [Mức độ 2] Cho hàm số . Gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của thoả mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 29. [Mức độ 2] Khẳng định nào sau đây luôn đúng với mọi số thực dương thoả mãn ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 30. [Mức độ 2] Đồ thị của ba hàm số và là các đường cong như hình vē dưới đây
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 31. [Mức độ 2] Tập nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 32. [Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 33. [Mức độ 2] Cho . Tính .
A. . B.. C. . D. .
Câu 34. [Mức độ 2+] Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại . Biết , . Tang của góc giữa hai mặt phẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 35. [Mức độ 2] Cho hình chóp có , tam giác là tam giác đều cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 36. [Mức độ 2] Cho hai số phức và . Mô-đun của số phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 37. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 38. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình . Đường thẳng nằm trong , vuông góc đồng thời cắt trục tung có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 39. [Mức độ 3] Cho hàm số . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. [Mức độ 3] Cho các số thực thoả mãn và . Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 41. [Mức độ 3] Cho hàm số bậc bốn và hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành bằng , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành bằng . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 42. [Mức độ 3] Cho hai số phức , thỏa mãn . Khi có mô-đun nhỏ nhất, tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 43. [Mức độ 3] Cho hình chóp có , đáy là hình thoi có cạnh , . Biết khoảng cách từ đến bằng , thể tích của khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Câu 44. [Mức độ 3] Hai quả cầu được đặt trên mặt bàn nằm ngang và tiếp xúc ngoài với nhau. Biết quả cầu nhỏ có bán kính bằng 12cm và điểm tiếp xúc của hai quả cầu cách mặt bàn một khoảng bằng 14,4cm. Thể tích của quả cầu lớn gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 24,44 (dm3). B. 24,41 (dm3). C. 24,43 (dm3). D. 24,42 (dm3).
Câu 45. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có phương trình , mặt phẳng có phương trình và điểm . Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn và là một điểm di động trên đường tròn . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng bằng . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 46. [Mức độ 4] Cho hàm số có đạo hàm . Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị thuộc khoảng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 47. [Mức độ 4] Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi giá trị của luôn tồn tại đúng hai số thực dương thoả mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 48. [Mức độ 4] Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng , khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây
Biết , là hình chữ nhật có , hai cung và là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là và . Tính thể tích của mô hình đó.
A. . B. . C. . D. .
Câu 49. [Mức độ 4] Cho hai số phức và thỏa mãn . Biết tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức tạo thành một hình phẳng trong mặt phẳng phức. Chu vi của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 50. [Mức độ 4] Trong không gian , cho ba điểm . Gọi là mặt phẳng chứa trục hoành sao cho nằm về cùng phía đối với mặt phẳng và lần lượt là khoảng cách từ đến . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng ( với , là số nguyên tố). Tính .
A. . B. . C. . D. .
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. [Mức độ 1] Có bao nhiêu cách chọn ra 1 bạn nam và 1 bạn nữ từ một nhóm gồm 5 bạn nam và 7 bạn nữ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Có 5 cách chọn ra 1 bạn nam và 7 cách chọn ra 1 bạn nữ. Theo quy tắc nhân, có cách chọn chọn ra 1 bạn nam và 1 bạn nữ từ một nhóm gồm 5 bạn nam và 7 bạn nữ.
Câu 2. [Mức độ 1] Cho cấp số nhân có , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
; .
Câu 3. [Mức độ 1] Cho hàm số (với ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Quan sát đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 4. [Mức độ 1] Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
Điểm cực tiểu của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên ta có điểm cực tiểu của hàm số là .
Câu 5. [Mức độ 1] Đồ thị hàm số nhận đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: do đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là .
Câu 6. [Mức độ 1] Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có dạng đồ thị hàm bậc ba và có hai cực trị nên chỉ có đáp án thoả yêu cầu.
Câu 7. [Mức độ 1] Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: là hàm bậc ba đồng biến trên nên phương trình luôn có duy nhất một nghiệm.
Câu 8. [Mức độ 1] Với số thực dương tuỳ ý, bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 9. [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có tập xác định của hàm số là .
Câu 10. [Mức độ 1] Hàm số là một nguyên hàm của hàm số
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Do đó, hàm số là một nguyên hàm của hàm số .
Câu 11. [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 12. [Mức độ 1] Cho và , khi đó bằng
A. . B.. C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 13. [Mức độ 1] Cho . Tính .
A. . B.. C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 14. [Mức độ 1] Số phức có phần thực là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số phức có phần thực là .
Câu 15. [Mức độ 1] Trong mặt phẳng tọa độ , điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trong mặt phẳng tọa độ , điểm biểu diễn số phức .
Câu 16. [Mức độ 1] Cho số phức . Số phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 17. [Mức độ 1] Cho hình lăng trụ đứng có và tam giác có diện tích bằng 6. Thể tích của khối lăng trụ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 18. [Mức độ 1] Cho hình chóp có , , đáy là hình chữ nhật có các kích thước bằng 4 và 3. Thể tích của khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 19. [Mức độ 1] Diện tích của mặt cầu có đường kính bằng 8 là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 20. [Mức độ 1] Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao gấp đôi bán kính đáy là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 21. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Điểm đối xứng của qua trục hoành có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm đối xứng của qua trục hoành có tọa độ là .
Câu 22. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu . Mặt cầu có tâm và bán kính là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu có tâm và có bán kính .
Câu 23. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng có một véc tơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
có phương trình có một véc tơ pháp tuyến là
Câu 24. [Mức độ 1] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Đường thẳng đi qua hai điểm có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là và đi qua nên có phương trình là .
Câu 25. [Mức độ 2+] Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 5 lần liên tiếp. Xác suất để trong 5 lần gieo đó có 2 lần xuất hiện mặt ngửa và 3 lần xuất hiện mặt sấp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phép thử: Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất 5 lần liên tiếp. Ta có .
Biến cố A: “Trong 5 lần gieo đó có 2 lần xuất hiện mặt ngửa và 3 lần xuất hiện mặt sấp”.
Ta có . Vậy .
Câu 26. [Mức độ 2] Cho hàm số (với ) có đồ thị của hàm số là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta có hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .
Ta có bảng biến thiên như hình vẽ:
Do đó khẳng định đúng là .
Câu 27. [Mức độ 2] Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là . Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vì đồ thị hàm số nhận điểm là một điểm cực trị nên ta có: .
Do đó . Vậy .
Câu 28. [Mức độ 2] Cho hàm số . Gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của thoả mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: . Khi đó
Mặt khác có . Vậy
Do đó ta có . Vậy có giá trị nguyên dương của thoả yêu cầu bài toán.
Câu 29. [Mức độ 2] Khẳng định nào sau đây luôn đúng với mọi số thực dương thoả mãn ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 30. [Mức độ 2] Đồ thị của ba hàm số và là các đường cong như hình vē dưới đây
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có đồ thị hàm số có hướng đi xuống từ trái qua phải do đó .
Tương tự ta có
Xét điểm có hoành độ khi đó với hàm ta có và với hàm số ta có . Do nên có .
Cách 2: Kẻ đường thẳng cắt đồ thị của ba hàm số và lần lượt tại các điểm có hoành độ bằng . Quan sát trên đồ thị ta có .
Câu 31. [Mức độ 2] Tập nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Câu 32. [Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Câu 33. [Mức độ 2] Cho . Tính .
A. . B.. C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Câu 34. [Mức độ 2+] Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại . Biết , . Tang của góc giữa hai mặt phẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
nên góc giữa hai mặt phẳng và là .
Ta có .
Câu 35. [Mức độ 2] Cho hình chóp có , tam giác là tam giác đều cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm thì là đoạn vuông góc chung của và .
Do đó .
Câu 36. [Mức độ 2] Cho hai số phức và . Mô-đun của số phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 37. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng nên có bán kính là .
Phương trình mặt cầu là .
Câu 38. [Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình . Đường thẳng nằm trong , vuông góc đồng thời cắt trục tung có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Mặt phẳng có một véc tơ pháp tuyến là , trục tung có một véc tơ chỉ phương là .
Đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là .
Đường thẳng đi qua là giao điểm của trục tung và mặt phẳng .
Phương trình của đường thẳng là .
Câu 39. [Mức độ 3] Cho hàm số . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định: .
Xét hàm số ta có bảng biến thiên:
Do đó có nên có
Ta có
Xét hàm số với ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có .
Kết hợp với điều kiện xác định ta có .
Do đó có giá trị nguyên thoả yêu cầu bài toán.
Câu 40. [Mức độ 3] Cho các số thực thoả mãn và . Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có:

(do ).
Ta có .
Câu 41. [Mức độ 3] Cho hàm số bậc bốn và hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành bằng , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành bằng . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ là và nên .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành bằng nên ta có .
Lại có, hàm số bậc bốn có 3 điểm cực trị là và nên .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành bằng nên
. Mà . Vậy .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , , trục hoành và hai đường thẳng là .
Câu 42. [Mức độ 3] Cho hai số phức , thỏa mãn . Khi có mô-đun nhỏ nhất, tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
. Dấu bằng xảy ra khi và .
Khi đó .
Câu 43. [Mức độ 3] Cho hình chóp có , đáy là hình thoi có cạnh , . Biết khoảng cách từ đến bằng , thể tích của khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
là tam giác đều.
Gọi là trung điểm của và là hình chiếu của lên thì .
và .
.
Vậy .
Câu 44. [Mức độ 3] Hai quả cầu được đặt trên mặt bàn nằm ngang và tiếp xúc ngoài với nhau. Biết quả cầu nhỏ có bán kính bằng 12cm và điểm tiếp xúc của hai quả cầu cách mặt bàn một khoảng bằng 14,4cm. Thể tích của quả cầu lớn gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 24,44 (dm3). B. 24,41 (dm3). C. 24,43 (dm3). D. 24,42 (dm3).
Lời giải
Gọi là bán kính của quả cầu lớn.
Sử dụng các tam giác đồng dạng trên hình, ta có (cm).
Vậy thể tích quả cầu lớn là (cm3) (dm3).
Câu 45. [Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có phương trình , mặt phẳng có phương trình và điểm . Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn và là một điểm di động trên đường tròn . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng bằng . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu có tâm , bán kính .
.
Do đó, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có tâm , bán kính .
Với là hình chiếu của trên mặt phẳng , .
Ta có ,
Ta có , , nên độ dài đoạn thẳng lớn nhất bằng . Vậy .
Câu 46. [Mức độ 4] Cho hàm số có đạo hàm . Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị thuộc khoảng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Đặt với . Khi đó ta có bảng biến thiên:
Ta có nên (1).
Dựa bảng biến thiên có:
+ Nếu thì phương trình cho 3 nghiệm phân biệt.
+ Nếu thì phương trình cho 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm ( trong đó có một nghiệm bội chẵn).
Xét .
Với .
Xét .
Với và mỗi phương trình cho 3 nghiệm phân biệt thoả mãn và .
Xét (*) ta có: . Với thì
Xét hàm số với ta có bảng biến thiên:
Do đó để hàm số đã cho có đúng điểm cực trị thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt thoả mãn .
Do đó số giá trị nguyên của là .
Câu 47. [Mức độ 4] Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi giá trị của luôn tồn tại đúng hai số thực dương thoả mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có
.
Đặt ta có phương trình .
Phương trình ẩn có hai nghiệm nên có:
Vẽ trên hệ toạ độ hai đường tròn với ta thấy có giá trị nguyên của () để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm dương.
Câu 48. [Mức độ 4] Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng , khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây
Biết , là hình chữ nhật có , hai cung và là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là và . Tính thể tích của mô hình đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ tọa như hình vẽ dưới đây
Khi đó, cung là một phần của đường parabol đỉnh và bề lõm quay lên nên có phương trình dạng .
Parabol đi qua nên ta có .
Tương tự, ta có cung là một phần của đường parabol có phương trình là .
Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là .
là thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục hoành và hai đưởng thẳng quay quanh nên
là thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng nên . Do đó .
Câu 49. [Mức độ 4] Cho hai số phức và thỏa mãn . Biết tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức tạo thành một hình phẳng trong mặt phẳng phức. Chu vi của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt . Ta có .
.
Đặt thì với . Mà nên chính là “vết” của đường tròn đơn vị khi tịnh tiến trên trục hoành sang trái 2 đơn vị, sang phải 2 đơn vị hay là hình gồm một hình chữ nhật hợp với 2 nửa hình tròn đơn vị.
Do đó chu vi của bằng .
Câu 50. [Mức độ 4] Trong không gian , cho ba điểm . Gọi là mặt phẳng chứa trục hoành sao cho nằm về cùng phía đối với mặt phẳng và lần lượt là khoảng cách từ đến . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng ( với , là số nguyên tố). Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của .
Gọi là trọng tâm tam giác
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên  ; lần lượt là hình chiếu của trên .
Ta có là hình thang, là trung điểm nên là trung điểm của nên ;
Ta có là hình thang, là trung điểm nên là trung điểm của nên .
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng . Do tam giác là hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng nên là trọng tâm của tam giác . Tương tự, ta chứng minh được
. Dấu bằng xảy ra khi hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với hình chiếu của trên trục hoành.
Vậy .
Lưu ý, ta có thể tìm thoả mãn , từ đó có
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi thu TN 2024 Toan So GD Ninh Binh LAN 3