Trường THPT Mỹ Đức A KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán
-------- Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------- oOo -------------------
Họ và tên thí sinh: ………………………………………..….. Số báo danh: …………
Câu 1. (5 điểm)
ππ
   
22
a) Giải phương trình lượng giác: sin x+ sin5x 2cos−−x 2cos+ 2x .
   
44
   
22
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=2sin x+ 3sin xxcos+ 5cos x .
Câu 2. (4 điểm)
234 n
a) Cho nn∈≥,2 hãy tính tổng S sau: S 2.1C+ 3.2C+ 4.3C++... n n−1 C .
( )
n nn n
1;20 .
b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
[ ]
Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.
Câu 3. (5 điểm)
a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số
đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.
u =1

1
b) Cho dãy số u được xác định bởi .
( )

n
n ∗
uu2+ 3,∀∈n 
 nn+1
Tìm công thức của số hạng tổng quát u theo n .
n
Câu 4. (5 điểm)
Cho mặt phẳng α và hai đường thẳng chéo nhau dd, cắt α tại AB, . Gọi ∆ là
( ) ( )
12
α
đường thẳng thay đổi luôn song song với ( ), cắt d tại M , cắt d tại N. Đường
1 2
′
thẳng d qua N luôn song song với d cắt α tại N .
( )
1
′
a) Tứ giác AMNN là hình gì?
′
b) Tìm tập hợp các điểm N .
c) Gọi O là trung điểm của là trung điểm của MN. Chứng minh rằng OI là đường
AB, I
thẳng cố định khi M di động.
Câu 5. (1 điểm)
Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn điều kiện: xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức H biết:
2 22
x y+++z yz x z x y
( ) ( ) ( )
H= ++ .
y y++22z z z z xx xx+ 2y y
------------------- HẾT -------------------
=
=
=
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11
Câu 1
Nội dung Điểm
5,0 đ
 ππ 
  
PT⇔ sin x+ sin5x=1+−cos 2x + 1++cos 4x
0,5 đ
  
  
22
  
  
0,5 đ
⇔+sin xxsin 5= sin 2x+ sin 4x
⇔=2sin 3xcos 2x 2sin 3xcos x
0,5 đ
sin3x= 0

⇔
0,5 đ

cos 2xx= cos

a)
3xk= π

3,0 đ 
⇔=22x x+ k π
0,5 đ


2x=−+x k2π

kπ

x=

3

kπ
⇔ xk2π⇔=x
0,5 đ

3

k2π
x=

 3
2 2
y=2sin x++3sin xxcos 5cos x
1+ cos 2x
3 ( )
=1−+cos 2x sin 2x+ 5.
( )
0,5 đ
22
3 37
= cos 2xx++sin 2
2 22
b)
3 2 π 7
2,0 đ 
cos 2x−+ 0,5 đ

2 42

7 3 2 5π
0,5 đ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số : y − đạt được tại x=+∈kkπ , 
min
22 8
7 3 2 π
0,5 đ
Giá trị lớn nhất của hàm số : y + đạt được tại
x=+∈kkπ , 
max
22 8
Câu 2
Nội dung Điểm
4,0 đ
k
Số hạng tổng quát u k(k−1)C
0,5 đ
kn
n!
u kk−1
( )
n
kn!!− k
( )
nn−−1 n 2!
( )( )
=
0,5 đ
a)
k− 2!nk−−2 − 2 !
( ) ( ) ( )

2,0 đ
k−2
nn(−12)C (≤≤k n)
n−2
01 3 n−2
S n n−1 CCC+ + ++... C
( )
( ) 0,5 đ
nnn−−−2 23 n−2
n−2
S nn−1 .2
( ) 0,5 đ
b)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3
2,0 đ 0,25 đ
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω=) 20
Đoạn 1;20 có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư
[ ]
0,25 đ
2.
3
Với mọi số tự nhiên ta luôn có n−=n nn−1 n+13 .
n ( )( )
0,5 đ
Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số đó chia
hết cho 3.
3
TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 6 khả năng xảy ra
3
TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 7 khả năng xảy ra.
3 0,5 đ
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 7 khả năng xảy ra.
TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3
dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra
333
0,25 đ
Số kết quả thuận lợi là 6 +++7 7 6.7.7.3!=2666
333
6 +++7 7 6.7.7.3! 1333
Xác suất cần tính là P 0,25 đ
3
20 4000
Câu 3
Nội dung Điểm
5,0 đ
Giả sử bốn góc A, B, C, D A<( )
B= qA

0,5 đ

2
với công bội q . Ta có C= qA

 3
D= qA



A+ BC+ + D=360
Ta có hệ

0,5 đ
a)
DA= 8

2,5 đ
23 

A 1++qq + q =360
( )

0,5 đ
⇔

3
Aq.8= A


q= 2

⇔
0,5 đ


A= 24

  
Suy ra B 48 ,C 96 , D 192 0,5 đ
∗ nn+1 n
Với mọi n∈ , ta có : uu= 23+⇔ u− 3= 2 u− 3 0,5 đ
( )
nn++11n n
n ∗
Xét dãy số v , với vu− 3,∀∈n  . ta có vv= 2 .
( )
n nn n+1 n 0,5 đ
b)
v 0,5 đ
Do đó, dãy số ( ) là 1 cấp số nhân có công bội q= 2 và số hạng đầu bằng -2
n
2,5 đ
nn−1
Suy ra v = vq.2=− 0,5 đ
n 1
n nn
Vậy uv= +=3 32−
0,5 đ
nn
=
===
==
Câu 4
Nội dung Điểm
5,0 đ
d d
2
d
1
I
N
M
( )
0,5 đ
N
B
b
A
a)
O
α
2,0 đ
Có AM // NN’
0,5 đ
Do d // dR R nên tồn tại mặt phẳng β chứa d và dR
1 ( ) 1
(αβ)∩=( ) AN

⇒ AN / /MN.
0,5 đ

MN⊂ βα, MN //
( ) ( )


⇒ AMNN′ là hình bình hành 0,5 đ
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và dR R, vì d // dR R nên (P) // dR R. 0,5 đ
2 1 1
Do (P) chứa đường thẳng cố định dR R và song song với đường thẳng cố định dR R nên (P) cố
2 1
0,5 đ
b)
định.
2,0 đ
N’ là điểm chung của (α) và (P) nên NP∈∩α
( ) ( ) 0,5 đ
Gọi α ∩=Pb. Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b.
( ) ( ) 0,5 đ
0,5 đ
Dựng đường thẳng qua E và song song với dR R cắt dR R tại NR R, Dựng đường thẳng ∆ qua NR R
1 2 0 0
0
song song với AE, đường thẳng này cắt dR R tại MR R.
1 0
c)
1,0 đ
0,5 đ
Câu 5 Nội dung Điểm
1,0 đ
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
222
x 22yz z xy
y 2 zx
H≥ ++
y y+ 22z z z z+ x x x x+ 2y y
22x x xyz y y xyz 2z z xyz
0,25 đ
= ++
y y+ 22z z z z+ x x x x+ 2y y
22x x 2yy z z
= ++
y y+ 22z z z z+ x x x x+ 2y y
1

x x= −+2a 4b+ c
( )

 9
a y y+ 2zz


1

Đặt: b z z+ 2x x⇒ y y a−+24b c
( ) 0,25 đ

9

c x x+ 2y y
 1

zz 42a+−b c
( )

9

Khi đó
22− a+ 4bc+ a− 2b+ 4c 4ab+− 2c

H≥ + +

9 a bc

2b a c c ab
  
= −64+ ++ + ++
  
 0,25 đ
9 a c a ab c
  


2 b a c c ab
33
≥ −6+ 4.3. ⋅⋅ + 3. ⋅⋅

9 a c a ab c

= 2
H= 2 khi abc⇒ x yz 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2.
0,25 đ
Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác ngoài đáp án và vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa của câu đó.
= = = = =
=
=
= =
=

onthicaptoc.com Đề thi olympic môn Toán lớp 11 năm 2019 2020 THPT Mỹ Đức A có đáp án