SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
KỲ THI OLYMPIC LỚP 11
CÁC TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2019-2020
CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
2
Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2sin xsinx 0.
Câu 2. (4,0 điểm)
a. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
1 3 3 5 5 2019 2019
b. Tính tổng S 2C 3.2 .C 5.2 .C ...2019.2 .C .
2020 2020 2020 2020
2

x 1
,1x

Câu 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y . Tìm a để hàm số liên tục tại x 1
x1

0
2

x  ax 2, x1

u  2021
1

Câu 4. (2,0 điểm) Cho dãy số u thỏa mãn .
  12020

n
*
u  u  ,n
nn1

2 u
n

Chứng minh rằng dãy u có giới hạn hữu hạn khi n và tính giới hạn đó.
 
n
23x
Câu 5. (2,0 điểm) Cho hàm số y có đồ thị C . Cho biết I 1;2 ;dx:1 ; dy:2 . Gọi
   
1 2
x1
d tiếp tuyến bất kỳ của C ; A,B lần lượt là giao điểm của d với d và d . Chứng minh rằng
 
1 2
IA.IB là hằng số.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho hàm số y f x có đồ thị C xác định và có đạo hàm trên thỏa
   
3
mãn f 1 x  2 f 1 2x 21x3 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có
     
hoành độ bằng 1.
Câu 7. (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh là . Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC .
a
Trên đường thẳng d đi qua D và vuông góc với mặt phẳng ABC tại D lấy điểm S sao cho
 
a 6
SD . Chứng minh rằng SAD  SBC và SAB  SAC
       
2
Câu 8. (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC và điểm M tùy ý nằm bên trong tam giác ABC. Ba
đường thẳng đi qua M, song song với SA,,SB SC cắt lần lượt các mặt phẳng
SA SB SC
SBC,,SAC SAB tại A,,B C . Chứng minh rằng    9 .
     
1 1 1
MA MB MC
1 1 1
------ Hết------
Họ và tên:……………………………………………………..Số báo danh:…………..
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
KỲ THI OLYMPIC LỚP 11
CÁC TRƯỜNG THPT CỤM
NĂM HỌC 2019-2020
SÓC SƠN - MÊ LINH
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
2
Câu 1
Giải phương trình sau: 2sin xsinx 0 .
(2,0
Phương trình tương đương: 1,0đ
điểm)
sinx 0

2

2sin x sinx 0
1

sinx
 2
1,0đ


xk 



 x  k2, k

6

5

xk 2
 6
Câu 2 a. Từ các số tự nhiên 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4
(4,0 chữ số khác nhau.
1 3 3 5 5 2019 2019
điểm) b. Tính tổng S 2C 3.2 .C 5.2 .C ... 2019.2 .C .
2020 2020 2020 2020
a. Từ các số tự nhiên 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4
chữ số khác nhau từng đôi một.
Mỗi số tự nhiên tạo thành là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. 1,0đ
4
1,0đ
Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là A  360 số.
6
1 3 3 5 5 2019 2019
b. Tính tổng .
S 2C 3.2 .C 5.2 .C ... 2019.2 .C
2020 2020 2020 2020
Xét khai triển: 0,5đ
2020
0 1 2 2 3 3 2019 2019 2020 2020
1 x  C  C x C x  C x ... C x  C x
 
2020 2020 2020 2020 2020 2020
Lấy đạo hàm 2 vế: 0,5đ
2019
1 2 3 2 2019 2018 2020 2019
2020 1 x  C  2C x3C x ... 2019C x  2020C x
 
2020 2020 2020 2020 2020
Chọn ta có: 0,5đ
x 2
2019 1 2 2 3 2018 2019 2019 2020
2020.3  C  2.2C  3.2 C ... 2019.2 C  2020.2 C 1
 
2020 2020 2020 2020 2020
Chọn x2 ta có
1 2 2 3 2018 2019 2019 2020
2020 C  2.2C  3.2 C ... 2019.2 C  2020.2 C 2
 
2020 2020 2020 2020 2020
0,5đ
Lấy 12 ta được
   
1 3 3 5 5 2019 2019 2019
S 2C  3.2 .C 5.2 .C ... 2019.2 .C  2020 3 1
 
2020 2020 2020 2020
2
Câu 3
 x 1
,1x

(2,0
Cho hàm số y . Tìm a để hàm số liên tục tại x  1
x1
 0
điểm) 2

x  ax 2, x1

1
Tập xác định của hàm số là 0,5đ
Với xx1; 
00
f x  f11 a
   
0
2
0,5đ
x 1
lim f x  lim  lim x1  2
   
  
x1 x1 x1
x1
2
0,5đ
lim f x  lim x  ax 2  a1
 
 

xx11
0,5đ
Hàm số liên tục tại x 1 lim f x  lim f x  f 1  a1 2 a 3
     
0

xx11
Câu 4 u  2021

1

(2,0
Cho dãy số u thỏa mãn .
  
 1 2020
n
*
u  u  ,n
điểm)
nn1

2 u
n

Chứng minh rằng dãy u  có giới hạn hữu hạn khi n và tính
n
giới hạn đó.
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được u  0,n ,n1 0.25đ
n
0.5đ

1 2020 1 2020
Ta có: u  u   .2. u .  2020,n1.

n1 n n
22uu
nn
vậy u là dãy bị chặn dưới.
 
n
0.5đ
Chứng minh u là dãy giảm.
 
n
2
2020 u
12020  
n
Xét u  u  u   u   0 , vậy u là dãy giảm.
 
n1 nn n n
22uu
nn
0.25đ
Vì u là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại limul (l 0 , l hữu hạn).
 
n n
0.5đ

1 2020
Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức uu ta có:
nn1
2 u
n
1 2020

l l  l 2020 .

2 l

Vậy u là dãy số giảm có hữu hạn hữu hạn và lim u  2020
   
n n
23x
Câu 5
y
Cho hàm số có đồ thị C . Cho biết I 1;2 ;dx:1 ; dy:2 .
   
1 2
(2,0
x1
điểm)
Gọi d tiếp tuyến bất kỳ của C ; A,B lần lượt là giao điểm của d với d
 
1
và d . Chứng minh rằng là hằng số.
IA.IB
2
0.5đ
Gọi M x ; y  C với x  1
   
00 0
Phương trình tiếp tuyến d của C tại M có phương trình:
 
1 23x 
0
y x x 
 
0
2
x 1
x 1
 
0
0
0.5đ

24x 
0
dd A 1;

1
x 1
0
0.5đ
d d  B2x 1;2
20
0.5đ
2
Ta có IA , IB21x . Vậy IA.4IB
x 1
0
2
Câu 6
Cho hàm số y f x có đồ thị C xác định và có đạo hàm trên
   
(2,0
3
thỏa mãn: f 1 x  2 f 1 2x  21x3 0. Viết phương trình tiếp
   
điểm)
tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1.
 
3
0,75đ
Từ đẳng thức f 1 x  2 f 1 2x  21x3 0
   
3
Cho x 0 ta được f 1  2 f 1 3 0 f 1 1
     
3
0,75đ
Lấy đạo hàm f 1 x  2 f 1 2x  21x3 0 ta có:
   
2

3 f 1 x . f 1 x  4 f 1 2x  21 0
     
2
Tại ta có 3 f 1 . f 1  4 f 1  21 0 7 f 1  21 0 f 1  3
x 0          
0,5đ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1 có
 
phương trình y 3 x1 1 y 3x 2
 
Câu 7 Cho tam giác đều ABC cạnh là a . Gọi D là điểm đối xứng với A qua
(4,0 BC . Trên đường thẳng d đi qua D và vuông góc với mặt phẳng
điểm)
a 6
ABC tại D lấy điểm S sao cho SD .
 
2
CMR SAD  SBC và SAB  SAC
       
S
K
H
A
C
O
D
B
Chứng minh SADSBC
1,5đ
BC AD

và BC SBC nên SAD  SBC
BC SAD      

BC SD

Chứng minh SAB  SAC
   
Gọi K là hình chiếu của D trên SA và H là trung điểm của AK; 0,5đ
ta có: vì
OBC AD OH SA OH //DK SA
BC SA vì BCSAD
Do đó SA HBC  HB SA; HC SA
 
0,5đ
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC là góc giữa HB và HC (1)
   
0,5đ
a 3
Tam giác ABC đều cạnh a, OA  AD a 3
2
Tam giác SAD vuông tại D, đường cao DK nên 0,5đ
1 1 1 4 1 1
      DK  a
2 2 2 2 2 2
DK SD DA 63a a a
3
a 1 0,5đ
OH  OH  DK
Trong tam giác HBC có (vì ) nên ta có
2 2
OHOB OC suy ra tam giác HBC vuông tại H HB HC (2)
Vậy từ (1), (2) ta kết luận SAB  SAD
   
Câu 8 Cho hình chóp S.ABC và điểm M tùy ý nằm bên trong tam giác ABC .
(2,0 Ba đường thẳng đi qua M , song song với SA,,SB SC cắt lần lượt các
điểm)
mặt phẳng SBC,,SAC SAB tại A,,B C .
     
1 1 1
SA SB SC
Chứng minh rằng    9 .
MA MB MC
1 1 1
S
K
A
C
M
H
I
B
Gọi H  AM  BC;;K  BM  AC I  CM  AB . Theo định lý Thales ta có: 1,0đ
SA SB SC AH BK CI
    
MA MB MC MH MK MI
1 1 1
Do M nằm bên trong tam giác ABC nên ta có: 1,0đ

AH BK CI S S S 1 1 1
ABC ABC ABC
      S  
ABC
MH MK MI S S S S S S
MBC MAC MABMBC MAC MAB

1 1 1
SSS     9
 

MBC MAC MAB
SSS
MBC MAC MAB
Chú ý: Học sinh có thể làm theo cách khác. Nếu bài làm đúng vẫn được điểm tối đa
theo các phần tương ứng.
4

onthicaptoc.com Đề thi olympic môn Toán lớp 11 năm 2019 2020 cụm Sóc Sơn Mê Linh có đáp án